ข้อ 14.
พิจารณาพหุนามในตัวแปร $k$
$P(k)=(a+2544+k)(b-2544-k)(c+2544+k)+(x-2544-k)(y+2544+k)(z-2544-k)-\frac{81}{2}k^2-\frac{99}{2}k-10$ ___(1)
จะเห็นว่า
$P(-1)=(a+2543)(b-2543)(c+2543)+(x-2543)(y+2543)(z-2543)-\frac{81}{2}(-1)^2-\frac{99}{2}(-1)-10=1-\frac{81}{2}+\frac{99}{2}-10=0$
$P(0)=(a+2544)(b-2544)(c+2544)+(x-2544)(y+2544)(z-2544)-\frac{81}{2}(0)^2-\frac{99}{2}(0)-10=10-0-0-10=0$
$P(1)=(a+2545)(b-2545)(c+2545)+(x-2545)(y+2545)(z-2545)-\frac{81}{2}(1)^2-\frac{99}{2}(1)-10=100-\frac{81}{2}-\frac{99}{2}-10=0$
แสดงว่า $k+1$ , $k$ และ $k-1$ เป็นตัวประกอบของ P(k)
นั่นคือ เราสามารถเขียน $P(k)=(k+1)k(k-1)Q(k)$ สำหรับพหุนาม $Q(k)$ บางพหุนาม
แต่เราสามารถสังเกตจาก (1) ได้ไม่ยากว่า $P(k)$ มีดีกรีไม่ถึงสาม
แสดงว่า $Q(k)=0$ ซึ่งทำให้ได้ว่า $P(k)=0$ ($P(k)$ เป็นพหุนามศูนย์)
$P(10)=(a+2554)(b-2554)(c+2554)+(x-2554)(y+2554)(z-2554)-\frac{81}{2}(10)^2-\frac{99}{2}(10)-10$
$(a+2554)(b-2554)(c+2554)+(x-2554)(y+2554)(z-2554)=P(10)+\frac{81}{2}(10)^2+\frac{99}{2}(10)+10=0+4050+495+10=4555$
ดังนั้น คำตอบคือ $4555+1000=5555$
พอจะใช้ได้ไหมครับ
