[Thgx0312555]

จริงๆ ไม่ต้องเป็นจำนวนเฉพาะก็ได้ครับ เป็นกำลัง $n>2$ ก็ได้ (Fermat's last theorem)

แต่ case นี้คงจะพิสูจน์ไม่ยากขนาดนั้น ครับ สังเกต
สมมติทั้งสามตัวแตกต่างกันหมดก่อนครับ
$(a+b)(a^2-ab+b^2)=c^3$
แยกได้ 4 เคส
$a+b=1 \quad a^2-ab+b^2=c^3$
$a+b=c \quad a^2-ab+b^2=c^2$
$a+b=c^2 \quad a^2-ab+b^2=c$
$a+b=c^3 \quad a^2-ab+b^2=1$
สังเกตว่า
$\gcd (a+b,a^2-ab+b^2)=\gcd (a+b, 3b^2)$
(Note: gcd=ห.ร.ม)

เคสที่ (2),(3) จะได้ ห.ร.ม เป็น $c$ -> $c \mid 3b^2$ -> $c=3$ or $c=b$ ขัดแย้งทั้งสองเคส
เคสที่ (1) เป็นไปไม่ได้อยู่แล้ว
เคสที่ (4) ลองอสมการนิดๆ ก็ขัดแย้ง