อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง
#177 เเล้วกรณีที่ \( (a,b,c,d)=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}},\sqrt{\dfrac{2}{3}},\sqrt{\dfrac{2}{3}},\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)\) ล่ะครับ สำหรับกรณีเเรก
|
ว่าแล้วเชียวครับ นึกในใจว่าระบบสมการ 4 ตัวแปร 3 สมการ น่าจะได้คำตอบไม่จำกัด
เอาใหม่นะครับ
2.3 ให้ $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง จงแสดงว่าระบบสมการต่อไปนี้สมมูลกัน
\(\cases{a^2+b^2&=&2\\c^2+d^2&=&2\\ac&=&bd}\) $\ \ \ $ และ $\ \ \ $ \(\cases{a^2+c^2&=&2\\b^2+d^2&=&2\\ab&=&cd}\)
จากระบบสมการแรก
$a^2+b^2=2$ ----(1)
$c^3+d^2=2$ ----(2)
$\ \ \ \ \ \ ac=bd$ ---(3)
ให้สมการที่ (3) มีค่าเท่ากับ $k$ จะได้ $ac=bd=k$ -------> $a=\frac{k}{c} , b=\frac{k}{d}$ ---(A)
แทนในสมการที่ (1) จะได้ว่า
${(\frac{k}{c})}^2+{(\frac{k}{d})}^2=2$
$\frac{c^2+d^2}{(cd)^2}=\frac{2}{k^2}$
$\frac{2}{(cd)^2}=\frac{2}{k^2}$
$\therefore cd=\pm k$
และจาก (A) ทำให้ได้ว่า $ab=\pm k$
สรุปจะได้ว่า $ab=cd=\pm k$ และ $ac=bd=k$
$c=\frac{k}{a}=\pm \frac{k}{d} \rightarrow a=\pm d$
$c=\pm \frac{k}{d}$ และ $d=\frac{k}{b} \rightarrow c=\pm b$
จากสมการที่ (1) $b=\pm \sqrt{2-a^2} , |a|\leqslant \sqrt{2}$
และมีเงื่อนไขว่า ถ้า $a,d$ มีเครื่องหมายเหมือนกันแล้ว $b,c$ จะมีเครื่องหมายเหมือนกันด้วย
ถ้า $a,d$ มีเครื่องหมายต่างกันแล้ว $b,c$ จะมีเครื่องหมายต่างกันด้วย
ดังนั้นชุดคำตอบทั้งหมดของระบบสมการคือ $(a,b,c,d)=(a,\pm \sqrt{2-a^2},\pm \sqrt{2-a^2},a) , (a,\pm \sqrt{2-a^2},\mp \sqrt{2-a^2},-a)$ เมื่อ $|a|\leqslant \sqrt{2}$
คำตอบของท่านจูกัดเหลียง ก็คือเมื่อ $a=\frac{2}{\sqrt{3}}$ นั่นเองครับ ส่วนคำตอบของผมก็คือเมื่อ $a=\pm 1$
ซึ่งถ้าทำแบบเดียวกันกับระบบสมการที่ 2 ก็จะได้แบบเดียวกันครับ หรือถ้าสังเกตดีๆ ก็จะเห็นว่า
จาก $a=\pm d ,c=\pm b$ ทำให้ระบบสมการทั้งสองสมมูลกันทันทีครับ
