โจทย์สำหรับคนที่เตรียมตัวเข้าโอลิมปิก สอวน ครับ
1. Find all pairs of integers (x,y) such that
$x^3+y^3 = (x+y)^2$
2. Find all pairs of integers for which $mn \geqslant 0$
$m^3+n^3+99mn = 33^3$
3. $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x + (\sqrt{3}+\sqrt{2})^x =(\sqrt{5})^x$
4. Solve the following system in real numbers:
$a^2+b^2 = 2c$
$1+a^2 = 2ac$
$c^2=ab$
5. Solve the following system in real numbers:
$ab=\dfrac{c^2}{1+c^2}$
$bc=\dfrac{a^2}{1+a^2}$
$ca=\dfrac{b^2}{1+b^2}$
6.Solve the equation
$$2(2^x-1)x^2+((2^x)^2-2)x = 2^{x+1}-2$$
7. Find all complex numbers $z$ such that
$(3z+1)(4z+1)(6z+1)(12z+1)= 2$
8. กำหนด $x_1,x_2,x_3,...,x_{100}$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่งทำให้ $x_1+\frac{1}{x_2}=1$ , $x_2+\frac{1}{x_3}=4$ , $x_3+\frac{1}{x_4}=1$ ,..., $x_{99}+\frac{1}{x_{100}}=1$ และ $x_{100}+\frac{1}{x_1}=4$ แล้ว $x_1+x_2+x_3+...+x_{100}$ มีค่าเท่าใด (น่าจะเ้คยเห็นใน พีชคณิตคิดเพื่อชาติมาแล้ว)
9. ถ้าสามารถเขียน $\sqrt{2011}$ ในรูปของ $$a+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{...}}}}}$$
โดยที่ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าต้องการให้ $a$ มีค่ามากที่สุดและ $\frac{c}{a}=2$ แล้ว $a+b+c$ มีค่าเท่าใด (เอามาจากในบอร์ดนี้แหละ)
10.จงหาผลคูณ $\frac{3}{4}\times \frac{8}{9}\times \frac{15}{16}\times ... \times \frac{9999}{10000}$ (Tugmos)
11.จงหาคำตอบของระบบสมการ
$xy = z-x-y , yz=x-y-z , zx=y-z-x$
12.เป็นโจทย์ยอดฮิตอีกข้อ
กำหนด x,y,z เป็น positive real numbers ซึ่งเป็นคำตอบของระบบสมการ $x^2+xy+y^2 = 57 , y^2+yz+z^2 =84,z^2+zx+x^2 = 111$
$xy+2yz+3zx = ?$
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name
เอามาฝากครับ (หนังสือจาก คุณ banker เลย)
1.) ถ้า $\cos A+\cos B+\cos C=0$ แล้ว จงหาค่าของ $\ \dfrac{ \cos 3A+\cos 3B+\cos 3C}{\cos A\cos B\cos C}$
2.) $x^{50}+x^{30}+1$ หารด้วย $(x-1)^4$ เหลือเศษเท่าใด
3.) สำหรับทุกจำนวนเต็ม $m>1$ แล้ว จงแสดงว่า $(m-1)^2$ หาร $m^{m-1}-1$ ลงตัว
|