[passer-by]

ขอเคลียร์ฺข้อที่พิมพ์สั้นๆก่อนนะครับ

GEOMETRY (วาดรูปเองนะครับ ไม่ซับซ้อนมาก แต่ถ้าคิดเลขผิดก็บอกด้วยนะ)

1. เขียน AC, OD ในเทอมของรัศมีวงกลม จะได้ $ \sqrt{3} r - \frac{\sqrt{3}r}{2}= 2 $ ดังนั้น AC ยาว 4 หน่วย

3. หามุมในสามเหลี่ยมมุมฉากจากตรีโกณ ม.ต้น จากนั้น ก็ลากเส้นผ่าน center ทั้ง 2 วง ซึ่งจะไปแบ่งครึ่งมุม 60 องศาในสามเหลี่ยมพอดิบพอดี แล้วก็ไล่หาด้านไปเรื่อยๆ จะได้ รัศมีวงที่สอง เท่ากับ $ \frac{1}{3}$ หน่วย

4. จากอัตราส่วนของพื้นที่สามเหลี่ยม พบว่า $ \frac{AM}{MB} =\frac{1}{1}= \frac{16 \sin \theta_1}{12 \sin \theta_2}$

ในขณะเดียวกัน $ \frac{EG}{GF} =\frac{3 \sin \theta_1}{ \sin \theta_2}$

จาก 2 สมการนี้ สรุปได้ว่า EG:GF = 9:4

5. ให้ มุม C กาง $\theta $ และ AD ยาว x หน่วย ดังนั้น $ \frac{2}{2+x}= \cos \theta $
ขณะเดียวกัน $ \frac{x}{2}= \cos 2\theta = 2\cos^2 \theta -1 = 2(\frac{2}{2+x})^2 -1$

แล้วก็แก้สมการหาค่า $x+2 $ ซึ่งก็คือความยาว AC พบว่า เท่ากับ $ 2^{\frac{4}{3}}$ หน่วย

6. (ข้อนี้น่าสนใจดีครับ)
วาดวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม MAC
สังเกตได้ว่า มุม ABC จะใหญ่สุด เมื่อ AB สัมผัสวงกลมพอดี (ลองวาดรูปดูเองนะครับ) และ เมื่อ AB เป็น tangent จะได้ $ \frac{BC}{BA}= \sqrt{2}$ โดยใช้ ทฤษฎีที่บอกว่่า $AB^2= MB \cdot BC $

ALGEBRA

9. จริงๆพี่ gon ลอกโจทย์ผิดน่ะครับ ไม่งั้นคำตอบก็ถูกแน่นอน

ผมแปะอีกวิธีแล้้วกัันครับ

ขั้นแรก เป็น optional step ครับ คือ จะทำหรือไม่ทำก็ได้ (ถ้าทำก็จะคิดเลขสะดวกขึ้น)

สังเกตว่า $ 6x^2-10x+17= 4(x^2-3x+5)+2(x^2+x+3)-9 $

ขั้้นที่ 2 : set ค่าให้ $x^2-3x+5=85 $ ดังนั้น
$ f(89\pm 2 \sqrt{329}) +2f(85) = 331 + 2(89\pm 2 \sqrt{329}) \cdots(1)$

จากนั้น ก็ set ให้ $x^2+x+3=85 $ ดังนั้น
$ f(85)+ 2f(89\pm 2 \sqrt{329}) = 4(89\pm 2 \sqrt{329})+161 \cdots(2)$

ขั้นที่ 3: แก้สมการหาค่า f(85) ซึ่งจะเท่ากับ 167 ครับ

COMBINATORICS

14. ผม generalize เลยแล้วกัันครับ

$$ \sum_{k=r}^{n-r} \binom{k}{r} \binom{n-k}{r} =\binom{n+1}{2r+1} $$

ส่วนคำอธิบายแบบ combinatorial นี่พูดยากแฮะ แต่จะพยายามครับ

สมมติมีเลข 1 ถึง n+1 แล้วเลือกมา 2r+1 จำนวนครับ โดยเมื่อเขียนเรียงจากน้อยไปมาก ให้ยึดตัวที่ r+1 ไว้ครับ(สมมติเป็นเลข k+1) จากนั้นจะเกิดเลข 2 ฝั่ง ฝั่งละ r จำนวน
มองอีกแง่หนึ่ง พบว่า r ตัวแรก เลือกมาจาก 1 ถึง k ด้วยวิธีเลือก $ \binom{k}{r}$ ซึ่งส่งผลให้ r ตัวหลัง จะมีวิธีเลือก $ \binom{n-k}{r}$ แล้วก็จะได้ identity ข้างต้นครับ

ดังนั้น ข้อนี้ตอบ $ \binom{8085}{169}$

ปล. ข้อ 13 กับ 18 ดูอึดๆดีจัง ไม่ทราบว่า ข้อ 13 ตอบ 4100 และข้อ 18 ตอบ 1273 หรือเปล่าครับ