เห็นว่าเป็นกระทู้เตรียม TMO ขอใส่เต็มเลยละกัน (ใครเพิ่งจบค่าย 1 ก็อย่าเพิ่งท้อล่ะครับ ^^)
นิยาม
อ้างอิง:
|
สำหรับจำนวนเต็ม $a$ เรียกจำนวนเต็ม $a^{-1}$ ว่าเป็น inverse ของ $a$ modulo $n$ ก็ต่อเมื่อ $a \cdot a^{-1} \equiv 1 (mod \, \, n)$
|
4. สำหรับจำนวนเต็ม $a$ และจำนวนนับ $n \ge 2$ พิสูจน์ว่า $a$ มี inverse modulo $n$ ก็ต่อเมื่อ $(a,n)=1$ เท่านั้น
5. พิสูจน์ว่า ถ้าจำนวนเต็ม $a_i$ สำหรับ $i=1,2,...,p-1$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ เป็นจำนวนที่ต่างกันใน modulo $p$ ซึ่ง $(a_i,p)=1$ แล้ว
$$\left\{\, a_1, a_2, ..., a_{p-1} \right\} = \left\{\, a_1^{-1}, a_2^{-1}, ..., a_{p-1}^{-1}\right\}$$ ใน modulo $p$
6. (6th TMO shortlist) ให้ $p \ge 5$ เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า $a,b$ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $(a,b)=1$ และ
$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{(p-1)^2} = \frac{a}{b}$$ แล้ว จงพิสูจน์ว่า $p|a$