[FranceZii Siriseth]

$Inequality$
จงแสดงว่า
$1. \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geqslant \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}$

$2.6abc\leqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

$3.\frac{a^2}{2}+\frac{b^3}{3}+\frac{c^6}{6} \geqslant abc$

$Functional$ $Equations$

1.จงหาพหุนาม $p(x)$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$p(x+2y)=p(x)+2p(y)-6$ , $\forall x,y\in \mathbb{R} $

2.จงหาฟังก์ชั่นทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$f(m+2n)=f(2m)+f(n)$ ,$\forall m,n\in \mathbb{N}\cup \left\{\,0\right\} $

3.จงหาฟังก์ชั่นทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$f(2xf(x)+f(y))=y+(f(x))^2+xf(x)$ ,$\forall x,y\in \mathbb{R} $

$Combinatorics$

1.แจกของเหมือนกัน 12 ชิ้น ให้เด็ก 3 คน จงหาจำนวนวิธีที่คนใดคนหนึ่งได้ของน้อยกว่าผลรวมของคนที่เหลือ

2.จงหาจำนวนวิธีการสร้างคำ 10 คำจากอักษร C O U N T โดยที่ผลรวมของจำนวนสระเป็นจำนวนคู่

3.ให้ $A=\left\{\,i,j\in \mathbb{N} \left|\,\right. 2^i 3^j\right\}$ จงแสดงว่า เมื่อสุ่มหยิบสิบสามจำนวนจาก A จะได้ผลคูณของสามจำนวนเป็นจำนวนกำลังสามสมบูรณ์

4.ให้ สี่เหลี่ยม ABCD (เป็นภาพนะครับ) กบตัวหนึ่งต้องการกระโดดจาก A ไป C โดยที่การกระโดดแต่ละครั้งต้องกระโดดไปที่จุดที่อยู่ข้างๆเท่านั้นและจะกระโดดไม่ได้อีกเมื่อไปที่จุด C จงหาจำนวนวิธีในการกระโดดโดยเริ่มที่จุด A และไปหยุดที่จุด C โดยกระโดดไปทั้งหมด 2014 ครั้ง

$Plane$ $Geometry$

1.ให้ P เป็นจุดภายใน สามเหลี่ยม ABC ลาก CP ไปตัด AB ที่จุด F

จงแสดงว่า $\frac{\Delta APC}{\Delta BPC } = \frac{AF}{BF}$ โดยที่ $\Delta ABC$ คือ พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC

2.จากข้อ 1. จงพิสูจน์ ทฤษฏีบทของ เชวา

3.จงพิสูจน์บทกลับของทฤษฏีบทของ เชวา

4.สามเหลี่ยม ABC มี B เป็นมุมฉาก ให้ D เป็นจุดบนด้าน AC ที่ทำให้ AB = DC จงแสดงว่า เส้นแบ่งครึ่งมุม A และเส้นมัธยฐานที่ลากจาก B ตัดกันที่จุดจุดหนึ่ง

$Number$ $Theory$

1.จงหาเศษเหลือจากการหาร $2^{2014}$ ด้วย $6$

2.จงหาจำนวนนับ $n$ ทั้งหมดที่ทำให้ $n!+3$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

3.จงหาจำนวนนับ $n$ ทั้งหมด ที่มีตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย 2 จำนวน และมีค่าเท่ากับผลบวกของตัวหาร 3 ตัวแรก

4.ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงแสดงว่า มีจำนวนเต็มบวก $n$ ซึ่ง
$7\cdot 3^n+2^n-6^n \equiv 1 \pmod{p} $

5.ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงหาจำนวนเต็มบวก k ที่มากที่สุด ซึ่ง $k\left.\,\right| p^9-p$ ,สำหรับทุกจำนวนเฉพาะ $p$

$Trigonometry$

1.จงหาค่าของ $\sum_{n = 45}^{89} \frac{1}{sin(n+1)sin(n)} $

2.จงหาค่าของ $cosA$ เมื่อ $arcsin(cotA)+arccos(cotA)+arctan(sinA)$= $\frac{\pi }{3}$