[passer-by]

ผมปรับภาษาให้มันกระชับขึ้นในบางข้อนะครับ

DAY 1 :

1. ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมุมฉาก โดย B เป็นมุมฉาก ,ให้ P เป็นจุดบน BC และ $\omega$ เป็นวงกลมที่มี CP เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ,ให้ $\omega$ ตัด AC ที่ Q และ AP ตัดวงกลม $\omega$ อีกครั้งที่ R พิสูจน์ $ CP^2 = AC\cdot CQ - AP \cdot PR $

2. ให้ $ a_1 ,a_2 ,....,a_{2012}$ เป็นจำนวนเต็มต่างกันหมด พิสูจน์ $$ \prod_{i=1}^{2012}(x-a_i) = (1006!)^2 $$ มีรากจำนวนเต็มอย่างมาก 1 ค่า

3. ให้ m,n เป็นจำนวนเต็มคี่ >1 และ (m,n)=1 พิสูจน์ $ \left\lfloor \frac{m^{\phi(n)+1}+n^{\phi(m)+1}}{mn} \right\rfloor $ เป็นเลขคู่

4. กำหนดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD ยาวด้านละ 1 หน่วย สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก ABE, BCF, CDG, ADH โดย E,F,G,H อยู่นอกสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ $ A\hat{E}B = B\hat{F}C = C\hat{G}D = A\hat{H}D =90^{\circ}$ พิสูจน์ว่าพื้นที่สี่เหลี่ยม ที่เกิดจาก incenter ของสามเหลี่ยม ABE, BCF, CDG, ADH ไม่เกิน 1 ตารางหน่วย

5. หา all $ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ซึ่ง $ f(f(x)+xf(y)) = 3f(x) +4xy $ ทุกจำนวนจริง x,y

6. นักเรียน n คน ($n \geq 100$) แข่งเป่ายิ้งฉุบแบบพบกันหมด คู่ละ 1 ครั้ง โดยผู้ชนะได้ 2 คะแนน ผู้แพ้ได้ 0 คะแนน และถ้าเสมอได้คนละ 1 คะแนน หลังจากการแข่งขันสิ้นสุดลง หาคะแนนรวมนักเรียนแต่ละคน

หาค่า n น้อยสุดที่ทำให้ข้อความด้านล่างเป็นจริงเสมอ

" ถ้าทุก 100 คนใดๆ มี คนที่ชนะ 99 คนที่เหลือ และมีคนแพ้ 99 คนที่เหลือ แล้ว ผู้แข่งขันทุกคนได้คะแนนรวมแตกต่างกันหมด"

Note : It's hardest question in this TMO. The answer is 197 , and original version comes from a contest in China 2007.