[Amankris]

$7).$

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$\begin {array}{rcrcrl}
N&\equiv &4&\equiv &-1&(\rm {mod}\ 5)\\
N&\equiv &3&\equiv &-1&(\rm {mod}\ 4)\\
N&\equiv &2&\equiv &-1&(\rm {mod}\ 3)\\
N&\equiv &1&\equiv &-1&(\rm {mod}\ 2)\\
&&&&&\\
N&\equiv& -1&\equiv &-121&(\rm {mod}\ 60)\\
N&\equiv &0&\equiv &-121&(\rm {mod}\ 11)\\
&&&&&\\
N&\equiv &-121&\equiv &539&(\rm {mod}\ 660)\\
\end {array}$

$25^\ast ).$ ผมว่าเป็นหนึ่งในข้อที่น่าสนใจ

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$\begin {array}{rcll}
N&=&1032^{1032}&\\
N&\equiv &7^{1032}&(\rm {mod}\ 25)\\
&\equiv &(7^4)^{258}&(\rm {mod}\ 25)\\
&\equiv &1&(\rm {mod}\ 25)\\
&\equiv &-24&(\rm {mod}\ 25)\\
&&&\\
N&\equiv &0&(\rm {mod}\ 4)\\
&\equiv &-24&(\rm {mod}\ 4)\\
&&&\\
N&\equiv &-24&(\rm {mod}\ 100)\\
&\equiv &76&(\rm {mod}\ 100)\\
\end {array}$

$30^\ast ).$ ข้อนี้ดูเหมือนยากนะ

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$\begin {array}{rcl}
(a+b+c)+(b+c+d)+(c+d+a)+(d+a+b)&=&2009\\
a+b+c+d&=&\displaystyle \frac{2009}{3}\\
&&\\
&&\\
\displaystyle \frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{c+d+a}+\frac{1}{d+a+b}&=&\frac{9}{49}\\
&&\\
\displaystyle \frac{a+b+c+d}{a+b+c}+\frac{a+b+c+d}{b+c+d}+\frac{a+b+c+d}{c+d+a}+\frac{a+b+c+d}{d+a+b}&=&\frac{9}{49}\frac{2009}{3}\\
&&\\
\displaystyle \frac{d}{a+b+c}+\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{d+a+b}&=&\frac{9}{49}\frac{2009}{3}-4\\
\end {array}$

อีกสองข้อที่น่าสนใจคือ $26^\ast ).$ และ $29^\ast ).$