[จูกัดเหลียง]

Day 1:Problem 4 Let $n$ be a positive integer and $$T_n=1+2+...+n$$ Find all triples $(p,q,r)$ such that $p,q$ is prime and $r$ is a natural number with $T_p+T_q=T_r$ holds

จากสมการ $T_p+T_q=T_r$ เห็นได้ชัดว่า $p=q=2,r=3$ เป็นคำตอบเเละถ้า $p,q\ge 3$ได้ว่า $r>p,q$
กรณีที่ 1 ถ้า $p>q$ สมมุติให้ $r=p+k$ สำหรับบางจำนวนนับ $k$ จะได้ $$T_p+\frac{q}{2}(q+1)=T_p+k\Big(p+\frac{k+1}{2}\Big)\leftrightarrow q(q+1)=k(2p+k+1)>k(2q+k+1)$$
เมื่อจัดรูปได้ว่า
$$q^2+(1-2k)q-k(k+1)>0$$ โดย Discreminant $(1-2k)^2+4k(k+1)<0$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
เเละหากเป็น กรณีที่ 2 ถ้า $p<q$ ก็เป็นไปไม่ได้เช่นกัน ดังนั้น $p=q$
ทำให้ได้ต่อไปว่า $2p^2+2p=2q^2+2q=r^2+r$ เห็นได้ชัดว่า $r=4a,p=q=2b+1$ สำหรับบางจำนวนนับ $a,b$
จะได้ $4a^2+a=2b^2+3b+1$
ถ้า $a<b$ จะได้ว่า $$\therefore b^2+3b+2a<2b^2+3b+1=4a^2+a<4b^2+b$$
นั่นคือ $$4b^2+b>2a+b^2+3b\leftrightarrow 3b^2-2b-2a>0$$
โดย Discreminant $4+24a<0$ เกิดข้อขัดเเ้ย้ง จึงไม่มีคำตอบ
ถ้า $a\ge b$ $$\therefore 4a^2+1\le 4a^2+a=2b^2+3b+1$$
เเละโดย Discreminant $9+16a^2\le 0$ ซึ่งก็เป็นไปไม่ได้
ดังนั้น $p=q=2,r=3$ เท่านั้น

ปล1. #17 ตอนนี้ยังงงๆอยู่เลยครับ ว่ามันจะพิสูจน์ยังไง
ปล2.bijection คืออะไรอ่ะครับ - -*