#26
แนวคิดของผมนะ (แยก case เยอะมาก ==')
ให้ $a,b,c\in \mathbb{I}$
$a+b+c=abc$
$c=\frac{a+b}{ab-1}$
กรณีที่ ตัวใดตัวหนึ่งเป็น $0$ ชัดเจนว่า $a+b+c=0$
กรณีที่ $a,b,c\not= 0$
จะได้
$\left|\,\frac{a+b}{ab-1}\right| \geqslant 1$
กรณีที่ $a,b$ เป็นบวกทั้งคู่จะได้ $ab\geqslant 1$ แต่กรณีที่ $a=b=1$ พบว่าไม่มีคำตอบดังนั้น $ab>1$
จะได้
$a+b\geqslant ab-1$
$(a-1)(b-1)\leqslant 2$
จะได้ $(a,b)=(2,2),(2,3),(3,2)$ แต่กรณีที่ $(a,b)=(2,2)$ จะได้ $c\not\in \mathbb{I} $
กรณีที่ $a,b$ เป็นลบทั้งคู่ ให้ $a=-m,b=-n$ เมื่อ $m,n>0$ กรณีที่ $m=n=1$ พบว่าไม่มีคำตอบ
พิจรณากรณีที่ $m,n>1$ ได้ $mn-1>0$
$\left|\,\frac{a+b}{ab-1}\right| \geqslant 1$
$\frac{\left|\,-m-n\right| }{mn-1}\geqslant 1$
$m+n\geqslant mn-1$
ทำในแบบกรณีแรก จะได้ $(m,n)=(2,3),(3,2)$
ดังนั้น $(a,b)=(-2,-3),(-3,-2)$
กรณีที่ $a,b$ มีตัวหนึ่งเป็นลบอีกตัวป็นบวก
โดยไม่เสียนัย สมมิตให้ $b$ เป็นลบ ให้ $b=-n$ เมื่อ $n\in \mathbb{I}^+ $ จะได้
$\left|\,\frac{a-n}{-an-1}\right| \geqslant 1$
$\left|\,a-n\right| \geqslant an+1$
กรณีที่ $n>a$ จะได้
$n-a \geqslant an+1$
$0\geqslant (a-1)(n+1)$
แต่ $n+1>0$ จะได้ $1\geqslant a$ ซึ่งมีคำตอบแค่กรณี $a=1$ ซึ่งจะได้ $(b,c)=(-1,0)$ ซึ่งซ้ำกับกรณีแรกสุด
กรณีที่ $a>n$
$a-n \geqslant an+1$
$0\geqslant (a+1)(n-1)$
แต่ $a+1>0$ จะได้ $1\geqslant n$ ซึ่งมีคำตอบแค่กรณี $n=1$ ซึ่งจะได้ $(a,c)=(1,0)$ ซึ่งซ้ำกับกรณีแรกสุด
ดังนั้น $a+b+c$ มีแค่ 3 ค่าคือ $0 ,6,-6$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร
ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ
...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป...
|