อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า
9.กำหนด $M$ เป็นจุดภายในสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า $ABC$ ถ้า $P,Q,R,T,G$ เป็นจุดตัดมัธยฐานของสามเหลี่ยม $MBC, MAC, MAB, PQR, ABC$ ตามลำดับ พิสูจน์ $M,T,G collinear$(ขอแบบไม่ใช้Homothety)
10. ในสามเหลี่ยม ABC($AB\not= AC$)วงกลมแนบในสัมผัสด้าน $BC,CA,AB$ ที่ $D,E,F$ ตามลำดับ
ให้ $AD$ พบกับวงกลมแนบในอีกครั้งที่จุด P,ให้ $EF$ และเส้นตรงที่ผ่านจุด P และตั้งฉากกับ $AD$ ตัดกันที่ $Q$
และให้ $AQ$ ตัดกับ $DE$ ที่ $X$ และ $DF$ ที่ $Y$ จงพิสูจน์ว่า $AX=AY$
11.จงพิสูจน์ว่าในบรรดาจำนวนเต็มใดๆ52จำนวนจะต้องมี2จำนวนที่ผลต่างกำลังสองของทั้ง2จำนวนหารด้วย100ลงตัว
|
ข้อ 11 ผมลองใช้ mod 100 อะครับ
แล้วใช้ $\left(\,50+a\right)^2\equiv a^2 \left(\,mod 100\right) $
ทำให้เราแบ่งจำนวนออกเป็น 2 ช่วงได้ คือช่วง $a\equiv 0,1,2,...,49 (mod 100 )$ กับ $a\equiv 50,51,52,...,99 (mod 100 )$
แล้วยกกำลังสองทั้งสองช่วง จะได้เศษจากการหารด้วย 100 เท่ากัน จะเป็น
$\left(\,50+a\right)^2-a^2\equiv 0 \left(\,mod 100\right) $
แล้วใช้หลักรังนกพิราบ ได้ รังนก 50 รัง
แสดงว่าต้องมีนกอย่างน้อย 51 ตัวที่ทำให้มีอย่างน้อย 2 ตัวที่ทำให้ผลต่างกำลังสองของทั้งสองจำนวนหารด้วย 100 ลงตัว
และ $51<52$
ผมทำอะไรผิดรึเปล่าครับ ขอคำแนะนำด้วยครับ