[PP_nine]

2.) หาฟังก์ชัน $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ ซึ่ง $f(2m+2n)=f(m)f(n)$ $\forall m,n\in \mathbb{N} $

เลือก $l\in \mathbb{N} , l < m+n$

$\therefore f(2m+2n)=f(2m+2n-2l+2l)$

$f(m)f(n)=f(m+n-l)f(l)$

แทน $m\rightarrow 2m+2l$ ซึ่งในทีนี้ $l\in \mathbb{N}$ จะเป็นอะไรก็ได้ เพราะ $l<(2m+2l)+n, \forall l\in \mathbb{N}$

$f(2m+2l)f(n)=f(2m+n+l)f(l)$

$f(m)f(l)f(n)=f(2m+n+l)f(l)$

แต่ $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}, f(l)\not= 0$

$\therefore f(m)f(n)=f(2m+n+l)$

$f(2m+2n)=f(2m+n+l), \forall l \in \mathbb{N}$

แทน $m=n=1$ และเลือก $l$ ใดๆชัดเจนว่า $f(4)=f(5)=f(6)=...$ ---(*)

จากโจทย์ แทน $m=4, f(8+2n)=f(4)f(n)$

แต่ $8+2n>4$ โดย (*) ได้ว่า $f(8+2n)=f(4)$

$\therefore f(n)=1, \forall n\in\mathbb{N}$