11. กำหนดให้ $\displaystyle{\delta = x^{x^{x^{x^{...}}}}}$ เมื่อ $\delta\in\mathbb{R}$ จงหาค่าสูงสุดของ $\delta$
กำหนดให้ $\displaystyle{y = x^{x^{x^{x^{...}}}}} \rightarrow y = x^y \rightarrow \ln{y} = y\ln{x}$
$\displaystyle{\frac{\ln{y}}{y} = \ln{x}}$
ต้องดูว่า $\displaystyle{\frac{\ln{y}}{y}}$ มีค่าอะไรได้บ้าง ใช้แคลคูลัส หาจุดวิกฤติ ก็จะได้ว่า $\displaystyle{\frac{\ln{y}}{y} \leq \frac{1}{e}}$
ดังนั้น $x \in (-\infty,e^{\frac{1}{e}})$
จาก $\displaystyle{y = x^y \rightarrow y^{\frac{1}{y}} = x}$ ดังนั้น ค่ามากสุดของ $\delta = e$
12. กำหนดให้ $A = \bmatrix{1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2}$
$B = A^{15}+A^{14}+...+I$
$C = A^{15}-A^{14}+A^{13}-...+A-I$
จงหา $\displaystyle{\frac{\det{(AB)}}{\det{C}}}$
สังเกตว่า $B = (A+I)(A^2+I)(A^4+I)(A^8+I)$ และ $C = (A-I)(A^2+I)(A^4+I)(A^8+I)$
ดังนั้น $\displaystyle{\frac{\det{(AB)}}{\det{C}} = \frac{\det{A}\det{B}}{\det{C}} = \frac{\det{A}\det{(A+I)}}{\det{(A-I)}} = \frac{4\times (-1)}{9}} = -\frac{4}{9}$
13. จงแก้ระบบสมการ
$x + y + z = 0$
$x^3+y^3+z^3 = 12$
$x^6+y^6+z^6 = 264$
14. จงแก้สมการ $\displaystyle{\tan^{-1}{(\frac{1}{x})}+\tan^{-1}{(\frac{1}{x+3})}+\tan^{-1}{(\frac{1}{x+6})} = \frac{\pi}{4}}$
ย้ายข้างสักตัว แล้ว take $\tan$ ธรรมดา จะได้
สมการ $x^3+6x^2-3x-26 = 0$
$x = 2, -4\pm\sqrt{3}$
15. กำหนดให้ $a+b+c = 1$ และ $a^2+b^2+c^2 = 2$ จงหาค่าสูงสุดของ
$\displaystyle{(1+a)(1+b)(1+c)+(a+b)(b+c)(c+a)}$