อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus
ใช่แล้ว มันง่ายแต่สวยมากเลย ผมหลงมันมาสองวันแล้ว 
ให้
$$\displaystyle{A=\{\frac{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\mid x,y,z>0\}}$$
จงแสดงว่า
$$A=\left(0,\frac{9}{8}\right]$$
 |
เธอสวย ทุกนาทีที่เคยสัมผัส
หลงมากๆระวังจะเสียใจในภายหลังนะครับ
$A=\left(1,\dfrac{9}{8}\right]$
จากเอกลักษณ์
$(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$
จะเห็นได้ชัดว่า
$\dfrac{(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}>1$
อสมการ
$\dfrac{(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq\dfrac{9}{8}$
สมมูลกับอสมการ
$(x+y+z)(xy+yz+zx)\geq 9xyz$
ซึ่งมาจากอสมการ AM-HM
แต่โจทย์ข้อนี้พิสูจน์อสมการอย่างเดียวไม่พอครับ
ต้องทำต่อด้วย
สมมติว่า $1<r\leq \dfrac{9}{8}$
ให้ $x=y=1,z=\dfrac{5-4r\pm\sqrt{9-8r}}{4r-4}$
จะได้
$\dfrac{(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}=r$
ดังนั้น
$A=(1,\dfrac{9}{8}]$
