อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Juniors
ตกลงตอบอะไรกันแน่ครับ แต่ผมคิดว่าถ้า $x<e^{-e}$ จะได้ว่ามันลู่เข้า 2 ค่านะครับ ผมลองมาแล้วครับ มันแกว่ง
|
ขออ้างจาก link ที่ผมให้ไว้ในความคิดเห็นที่ 9 นะครับ
Lemma 1.9 ถ้า $x>e^{1/e}$ แล้ว $x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}$ ลู่ออก
ุLemma 1.7 ถ้า $e^{-e}\leq x\leq e^{1/e}$ แล้ว $x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}$ ลู่เข้า
Lemma 1.8 ถ้า $0<x<e^{-e}$ แล้วลำดับ $x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}$ จะเป็น attracting 2-cycle
คำว่า attracting 2-cycle นี้เป็นภาษา Dynamical Systems ครับ หมายความว่า
ลำดับที่เราสร้างขึ้นมานั้นจะมีค่าแกว่งไปแกว่งมาในสองบริเวณ (ถ้าเป็น 3-cycle มันก็จะวนไปสองที่แล้วก็กลับมายังบริเวณใกล้ๆกับจุดเดิม)
แต่แกว่งอย่างเดียวไม่พอ คำว่า attracting บ่งบอกว่า ลักษณะการแกว่งจะถูกดึงดูดด้วยจำนวนค่าหนึ่งในแต่ละบริเวณ
หมายความว่า ถ้าเรามองที่ลำดับย่อยมันจะลู่เข้าด้วย
ซึ่งในที่นี้จะเป็นลำดับที่เกิดจากการทำซ้ำเป็นจำนวนคู่กับจำนวนคี่ครั้ง
โดยลำดับ
$x,x^{x^{x}},x^{x^{x^{x^x}}},...$ จะลู่เข้าหาจำนวนจริง $a$
และลำดับ
$x^x,x^{x^{x^x}},...$ จะลู่เข้าหาจำนวนจริง $b$
เมื่อ $a,b$ สอดคล้องระบบสมการ
$b=x^{x^b}$
$a=x^b$
สังเกตว่าจำนวนที่ดึงลำดับ $x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}$ เข้าไปหาก็คือ $a,b$ นี่เ้องครับ