มีเฉลยเยอะแยะครับ เพราะมันเป็น IMO1961
ส่วนเฉลยข้างล่างนี้ผมคิดเอง
จากสูตรของ Heron จะได้ $A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ เมื่อ $s=\dfrac{a+b+c}{2}$
ให้ $x=\dfrac{a+b-c}{2},y=\dfrac{b+c-a}{2},\dfrac{c+a-b}{2}$ จะได้
$a=z+x,b=x+y,c=y+z,s=x+y+z$
ดังนั้นอสมการที่จะพิสูจน์สมมูลกับ
$(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2 \geq 4\sqrt{3}\sqrt{xyz(x+y+z)}$
ซึ่งสมมูลกับ
$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\geq 2\sqrt{3xyz(x+y+z)}$
จากอสมการ $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$ และ $(xy+yz+zx)^2\geq 3xyz(x+y+z)$ จะได้ว่า
$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx \geq 2(xy+yz+zx)\geq 2\sqrt{3xyz(x+y+z)}$ ตามต้องการ $\blacksquare$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|