[จูกัดเหลียง]

ไม่ทราบว่าพิสูจน์เเบบนี้จะโอเครึเปล่าครับ รบกวนผู้รู้ด้วยนะครับ

จงพิสูจน์ว่า ถ้า $S,T$ เป็นเซตที่มีขอบเขต เเล้วจะได้ว่า $\sup(S\cup T)=\max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\} $

Solution

$Let$ $a\in S\cup T$ $we$ $have$ $a\in S$ $or$ $a\in T$ $.if$ $a\in S$ $then$ $a \le \sup(S)$ $and$ $if$ $a\in T$ $then$ $a\le \sup(T)$

$Hence,$ $a\le \max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\} $ $So$ $\max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\}$ $is$ $the$ $upper$ $boundary$ $of$ $S\cup T.$

$Let$ $p$ $be$ $another$ $upper$ $boundary$ $of$ $S\cup T$ $such$ $that$ $p<\max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\}$

$because$ $p$ $is$ $the$ $upper$ $boundary.$ $Thus,$ $p\ge \sup(S)$ $and$ $p\ge \sup(T)$ $which$ $implies$

$\max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\}> p\ge \max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\}$ $contradiction.$ $So$ $\max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\}=\sup(S\cup T)$