2. แทน $m$ ด้วย $f(m)$ จะได้เป็น $f(f(m)+f(n))=n+f(f(m)+58) = m+n+f(116)$
จากตรงนี้จะเห็นได้ชัดว่า f มัน 1-1 แล้วเราสามารถแทนค่า m,n หลายแบบเพื่อให้ผลรวมฝั่งขวายังเท่าเดิม
$$f(f(n-1)+f(n+1))=2n+f(116)=f(2f(n))$$
ฉะนั้นโดยความเป็น 1-1 $f(n-1)+f(n+1)=2f(n)$ ซึ่งก็คือ $f(n+1)-f(n)=f(n)-f(n-1)=k$ ค่าคงที่
จากตรงนี้ก็สามารถพิสูจน์ได้ง่ายว่า f คือ linear function และมันคือ $f(n)=n+58$
ผลรวมที่แยากได้ก็เลยเท่ากับ $990$
4. เราแทน z ด้วย -1 และ x ด้วย 0 จะได้ $f(0)=1-f(-1)f(y)+2f(y)$ เราสรุปว่าถ้า $f(-1)$ ไม่เท่ากัย 2 จากสมการนี้เราจะได้ว่า f คือ constant function ซึ่งสามารถเช็คได้ง่ายว่าไม่มีคำตอบ ฉะนั้น f(-1)=2 และ f(0)=1
ที่นี้เราแทนแค่ z=-1 ในมการโจทย์ได้ว่า $f(2x^2)=1-2(x^2+f(y))+2f(y)=1-2x^2$
จากตรงนี้เราสรุปได้ว่า $f(x)=1-x$ สำหรับทุกๆ $x$ ที่เป็นจำนวนจริงบวก
ต่อมาแทน x=z=0 ในสมการโจทย์ และใช้ที่ว่า $f(0)=1$ จะได้ $f(f(y))=1-f(0)f(y)=1-f(y)$
พิจารณากรณี $y\geq 0$ เราจะได้ว่า $f(y)=1-y$ เลยได้ด้วยว่า $f(1-y)=1-(1-y)$
แต่เนื่องจาก range ของ 1-y ในที่นี้คือไม่เกิน 1
ดังนั้น $f(y)=1-y$ สำหรับทุก $y$ ที่ $\geq 0$ และ $\leq 1$ ซึ่งจะเห็นว่ามันคลุมทั้งจำนวนจริง
5.เข้าใจว่าหมายถึง f ยกกำลัง 3 เพราะถ้าเป็น the third iteration of f ฟังก์ชั้น $f(x)=0.5$ สอดคล้องโจทย์แต่ไม่สอดคล้องโคชี
สามารถหาได้ไม่ยากว่า $f(0)=0$ และ $f(-y)=-f(y)$
แทน $x=y=\frac{t}{2}$ ได้ $f(t)^3=8f(\frac{t}{2})^3\Rightarrow f(t)=2f(\frac{t}{2})$
แทน $(x,y)\rightarrow (\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})$ ;
$$f(x)^3+f(y)^3=2f(\frac{x+y}{2})^3+6f(\frac{x+y}{2})f(\frac{x-y}{2})^2=\frac{1}{4}[f(x+y)^3+3f(x+y)^2f(x-y)]$$
ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราแทน $(x,y)\rightarrow (\frac{x-y}{2},\frac{x+y}{2})$ แบบสลับคู่จะได้
$$f(x)^3-f(y)^3=\frac{1}{4}[f(x-y)^3+3f(x-y)^2f(x+y)]$$
เอาสองสมการนี้มาบวกกัน ฝั่งขวาจะกลายเป็น $\frac{1}{4}(f(x+y)+f(x-y))^3$ อย่างสวยงาม ในขณะที่ด้สนซ้สยจะเป็น $2f(x)^3$ เพราะฉะนั้นเมื่อปัดส้วนขึ้นมาแล้วถอดรากที่สาม
$$2f(x)=f(x+y)+f(x-y)$$
ที่เหลือก็แค่เปลี่ยนตัวแปรให้เข้ากับโคชีแบบทั่วไปๆ
