13. Another Alternative Solution ที่ออกไปทางเรขาครับ
ยืมรูปหน่อย
โดยไม่เสียนัยทั่วไป จะสามารถให้ $AB=1$
จากกฎของ cosine
$RP^2=AR^2+AP^2-2AR\cdot AP\cos RAP$
$\dfrac{2}{3}AP^2=AR^2+AP^2-2AR\cdot AP\cdot \dfrac{AR}{AB}$
$0=AR^2+\dfrac{1}{3}AP^2-2AR^2\cdot AP$
$AR^2(2AP-1)=\dfrac{1}{3}AP^2$
$\therefore \dfrac{AP^2}{AR^2}=6AP-3$
แต่โดยสามเหลี่ยมคล้าย
$\dfrac{AP^2}{AR^2}=\dfrac{AQ^2}{AR^2}=\dfrac{BQ^2}{AB^2}=BQ^2=AQ^2+AB^2=AP^2+1$
ดังนั้น $AP^2+1=6AP-3$
$AP^2-6AP+4=0$
$AP=\dfrac{6 \pm \sqrt{20}}{2}=3 \pm \sqrt{5}$ แต่ $AP<1$ จึงเลือกค่า $AP=3-\sqrt{5}$ ครับ