[Switchgear]

ผมชอบแนวคิดข้อ 4 ของคุณหยินหยางมากครับ!
ในหนังสือที่วางขาย ก็เฉลยข้อ 4 แนวเดียวกับคุณหยินหยาง แต่ไม่ได้สรุปแนวคิดให้สั้นๆ แบบนี้

ผมเฉลยข้อ 22 ต่อเลยละกัน :-)
.
ข้อ 22. ให้หาความยาว $PQ$ (ไม่อยากโพสต์รูป ดูในพระตะบองได้)

เฉลยวิธีคิด: (แนวคิดนี้ คำนวณน้อยมาก)

ให้ $a = 22;\;b = 24;\;c = 20$ ลากเส้นตั้งฉากจากจุด $A$ มายังฐาน $BC$ และความสูงนั้น = $H$

เมื่อ $[ABC]$ แทนพื้นที่สามเหลี่ยม จะได้ ${1 \over 2} \times 22 \times H\; = \;[ABC]\quad \to \quad H\; = \;{{[ABC]} \over {11}}$

ให้ $R$ เป็นรัศมีของวงกลม อาศัยสูตร $R\; = \;{{[ABC]} \over {(a + b + c)/2}}\quad \to \quad R\; = \;{{[ABC]} \over {33}}\; = \;{H \over 3}$

อาศัยหลักสามเหลี่ยมคล้ายจะได้ ${{PQ} \over {BC}}\; = \;{{H - R} \over H}\quad \to \quad PQ\; = \;{2 \over 3}BC\; = \;{{44} \over 3}\; = \;14{2 \over 3}$

ความรู้เพิ่มเติม:

ขั้นตอนการพิสูจน์สูตรรัศมีวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $R = {{[ABC]} \over {(a + b + c)/2}}$ มีดังนี้

กำหนด $\Delta ABC$ มีด้านตรงข้ามมุม $A,B,C$ ยาว $a,b,c$ ตามลำดับ

ให้วงกลมรัศมี $R$ แนบในสามเหลี่ยม มีจุดศูนย์กลางที่ $O$ และสัมผัสด้าน $BC,CA,AB$ ที่จุด $X,Y,Z$ ตามลำดับ

ดังนั้น $[ABC] = [OBC] + [OAC] + [OAB] = {1 \over 2}OX \cdot BC + {1 \over 2}OY \cdot CA + {1 \over 2}OZ \cdot AB = {1 \over 2}Ra + {1 \over 2}Rb + {1 \over 2}Rc
$

เมื่อจัดรูปสมการใหม่ก็จะได้ $R = {{[ABC]} \over {(a + b + c)/2}}$ ตามต้องการ