[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

3. จงหาเซตคำตอบ $\dfrac{1}{x^3} +\dfrac{1}{x^5} +\dfrac{1}{x^7} +..+\dfrac{1}{x^{15}} \leqslant \dfrac{7}{x^9} $

$$\dfrac{1}{x^3} +\dfrac{1}{x^5} +\dfrac{1}{x^7} +..+\dfrac{1}{x^{15}} \leq \frac{7}{x^9}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{x^3} +\dfrac{1}{x^5} +\dfrac{1}{x^7} +\frac{1}{x^{11}}+\frac{1}{x^{13}}+\frac{1}{x^{15}}\leq \frac{6}{x^{9}}$$
กรณี $x<0$
$$ \dfrac{1}{x^2} +\dfrac{1}{x^4} +\dfrac{1}{x^6} +\frac{1}{x^{10}}+\frac{1}{x^{12}}+\frac{1}{x^{14}}\ge \frac{6}{x^{8}}$$
ซึ่งจริงเสมอ $\therefore x<0$
กรณี $x\ge 0$
โดย A.M-G.M $$\dfrac{1}{x^3} +\dfrac{1}{x^5} +\dfrac{1}{x^7} +\frac{1}{x^{11}}+\frac{1}{x^{13}}+\frac{1}{x^{15}}\ge\frac{6}{x^{9}}$$
$\therefore $ มีเพียงกรณีเดียวคือ $\frac{1}{x^3}=\frac{1}{x^5}=\frac{1}{x^7}=...=\frac{1}{x^{15}}$ หรือ คำตอบคือ $x= 1$

$\rightarrow x\in (-\infty ,0)\cup \left\{\,1\right\} $