$\tan ^2 1 ^\circ + \tan ^2 89 ^\circ = 2 + 4\tan ^2 88 ^\circ$
(แปลงเป็นฟังก์ชัน sine กับ cosine แล้วจัดรูป)
ทำนองเดียวกับมุมคู่อื่น ๆ ที่รวมกันได้ 90 องศา ยกเว้น 45 องศาที่ไม่มีคู่
ดังนั้น $\tan ^2 1 ^\circ + \tan ^2 3 ^\circ + ... + \tan ^2 89$
$= 45 + 4(\tan ^2 4 ^\circ + \tan ^2 8 ^\circ + ... + \tan ^2 88 ^\circ) \quad ... (*)$
หาผลบวก $\tan ^2 4 ^\circ + \tan ^2 8 ^\circ + ... + \tan ^2 88 ^\circ$ ได้ดังนี้
พิจารณาสมการ $45 \theta = n\pi$ จะได้ $23 \theta = n \pi - 22 \theta$ ดังนั้น
$$\tan 23 \theta = - \tan 22 \theta$$
ให้ $\tan \theta = x$ จะได้ว่า
$$\frac{\binom{23}{1}x - \binom{23}{3}x^3 + ... + \binom{23}{21}x^{21} - \binom{23}{23}x^{23}}{\binom{23}{0} - \binom{23}{2}x^2 + ... + \binom{23}{20}x^{20} - \binom{23}{22}x^{22}} = -\frac{\binom{22}{1}x - \binom{22}{3}x^3 + ... - \binom{22}{19}x^{19} + \binom{22}{21}x^{21}}{\binom{22}{0} - \binom{22}{2}x^2 + ... + \binom{22}{20}x^{20} - \binom{22}{22}x^{22}}$$
ย้ายข้างแล้วจัดรูปจะได้ว่า$$x^{45} - (\binom{23}{21}\binom{22}{22} + \binom{23}{23}\binom{22}{20} + \binom{23}{22}\binom{22}{21})x^{43} + ... + 45x = 0 $$ตัด $\tan \theta = 0$ ทิ้ง ดังนั้น
$$x^{44} - 11(23 + 21 + 46)x^{42} + ... + 45 = 0$$
$$(x^2)^{22} - 990(x^2)^{21} + ... + 45 = 0$$
โดย Vieta's Relation$$\tan ^2 4 ^\circ + \tan ^2 8 ^\circ + ... + \tan ^2 88 ^\circ = 990$$
ดังนั้น $(*) = 45 + 4(990) = 4005$
