ตอบรวม ๆ ก่อนนะครับ เรื่องตรีโกณโดยเฉพาะเอกลักษณ์ ผมค่อนข้างมีความสนใจเป็นพิเศษ ปัญหานี้จึงเข้าทางผมพอดี
สำหรับที่คิดว่าคิดได้ไง อุปมาก็เหมือนคนเคยเดินเล่นในป่าแห่งหนึ่ง วนซ้ำไปซ้ำมาอยู่หลายครั้ง เมื่อเห็นปัญหาที่เหมือนกับป่าแห่งนั้น ก็พอจะเข้าใจได้ครึ่งทางว่าจะต้องเดินอย่างไร จึงจะหาทางออกจากป่าได้ อย่างที่ nooonuii บอกครับ คือต้องสร้างสมการที่มีรากอันสวยสดงดงามเหล่านั้น
ซึ่งปัญหาเบื้องต้นก็คือถ้าสมการ $m \theta = n \pi$ โดยที่ m เป็นจำนวนคู่ การสร้างสมการที่มีรากเป็นกำลังสองจะทำไม่ได้ (หรืออาจจะทำได้ แต่ผมยังไม่เคยลองเล่นอย่างจริงจัง) ดังนั้นที่ต้องทำในเบื้องต้น คือ แปลงปัญหาให้อยู่ในรูปสมการ $m \theta = n \pi$ โดยที่ m เป็นจำนวนคี่ นั่นเองครับ.
อ้างอิง:
|
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza
พี่gonครับ. ช่วยอธิบาย ใหtan zeta=xสมการ2 สมการ ตรง2บรรทัดนี้. ไม่เข้าใจมาได้อย่างไร?พี่หาอ่านวิธีสร้างสมการพหุนามของtan.ได้ที่ไหน?
|
คำถามนี้ต้องดูในบทความเสริมประสบการณ์ชุดที่ 24 เรื่อง
ทฤษฎีบทของออยเลอร์และเดอมัวร์ (หน้า 6) สำหรับการหาค่า $\tan n \theta $
ส่วนการประยุกต์ดูในชุดที่ 32
ทฤษฎีสมการและตรีโกณมิติ
สำหรับคำถามของน้อง RoSe-JoKer : โดยปกติแล้ว การจัดรูป ผมจะยึดหลักกว้าง ๆ ไว้ว่า ให้แปลงเป็นฟังก์ชันพื้นฐานทั้งสอง คือ sine กับ cosine ลองดูแนวทางตามนี้ครับ
$\frac{\sin ^2 1 ^\circ }{\cos ^2 1 ^\circ} + \frac{\sin ^2 89 ^\circ }{\cos ^2 89 ^\circ} = \frac{ (\sin 1 ^\circ \cos 89 ^\circ)^2 + (\sin 89 ^\circ \cos 1 ^\circ)^2}{(\cos 1 ^\circ \cos 89 ^\circ)^2} $
นำ 4 คูณทั้งเศษและส่วน จากนั้นใช้สูตร $2\sin A \cos B = \sin (A + B) + \sin(A - B), 2\cos A \cos B = ...$ กระจายออกมาจะได้
$\frac{2 + 2\sin^2 88^\circ}{\cos 88^\circ} = 2\sec^2 88^ \circ + 2\tan^2 88^ \circ = 2(1 +\tan^2 88^ \circ) + 2\tan^2 88^ \circ = 2 + 4\tan^2 88^\circ$
ซึ่งเมื่อเราใช้แนวคิดเดียวกันนี้กับสมการ $(2m + 1)\theta = n\pi$
ก็จะได้เอกลักษณ์ $$\tan^2 \frac{\pi}{2m+1} + \tan^2 \frac{2\pi}{2m+1} + ... + \tan^2 \frac{m\pi}{2m+1} = m(2m + 1) $$
และ $$\tan \frac{\pi}{2m+1}\tan \frac{2\pi}{2m+1} ... \tan \frac{m\pi}{2m+1} = \sqrt{2m+ 1}$$
สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก m นั่นเองครับ.
