[dektep]

ขอลงวิธีทำข้อที่ผมทำก็แล้วกันนะครับ
7.ครึ่งวงกลม $\omega$ มีเส้นผ่านศูนย์กลาง $AB$ และจุดศูนย์กลาง $O$ เส้นตรง $l$ ตัดครึ่งวงกลม $\omega$ ที่จุด $C,D$ และตัด $AB$ ที่ต่อออกไปที่ $M$ $(MB < MA,MD < MC)$ ให้ $K$ เป็นจุดตัดที่สองของวงกลมล้อมรอบ $\Delta{AOC}$ และวงกลมล้อมรอบ $\Delta{DOB}$
จงพิสูจน์ว่า $\hat{MKO}=90^\circ$
วิธีทำ พิจารณา inversion จุดศูนย์กลาง $O$ และรัศมี $r=OA \rightarrow$ $A'=A,B'=B,C'=C$ และ $D'=D$.......(1)
(เมื่อ $A',B',C'$ และ $D'$ คือ inversion of $A,B,C$ และ $D$ ตามลำดับ)
ให้วงกลมล้อมรอบ $\Delta{AOC},\Delta{DOB}$ คือวงกลม $O_1$ และ $O_2$ ตามลำดับ
ต่อไปพิจารณาว่า $O_1 \longrightarrow AC , O_2 \longrightarrow DB $
(เพราะว่า จาก (1),$AC$ ขนานกับเส้นสัมผัสวงกลม$O_1$ที่ $O$ และ $DB$ ขนานกับเส้นสัมผัสวงกลม$O_2$ที่ $O$)
$\therefore K \longrightarrow K' = AC \cap DB$(เพราะว่า $K$ คือจุดตัดของวงกลม $O_1$ และ $O_2$)
$M \longrightarrow M'$ $=$ จุดตัดของ $AB$ กับวงกลมล้อมรอบ $\Delta{OCD}$.............(2)
$\hat{MKO} = 90^{\circ} \leftrightarrow \hat{K'M'O} = 90^{\circ}$
เพราะว่า $BC \perp AK' , AD \perp BK'$ และ $O$ เป็นจุดกึ่งกลาง $AB$ ดังนั้น วงกลมล้อมรอบ $\Delta{OCD}$
เป็น nine-point circle of $\Delta{ABK'}$ ซึ่งตัด $AB$ อีกจุดที่เส้นตั้งฉากจาก $K'$ ไปยัง $AB$. ซึ่งจุดนี้คือ $M'$(จาก (2) )
ดังนั้น $\hat{K'M'O} = 90^{\circ}$
ดังนั้น $\hat{MKO} = 90^{\circ}$
ปล.เครื่องหมาย $A \longrightarrow A'$ หมายความว่า $A'$ คือ Inversion of $A$ respect to the Circle $O$