หัวข้อ: Find initial value
ดูหนึ่งข้อความ
  #12  
Old 31 พฤษภาคม 2009, 00:50
kheerae's Avatar
kheerae kheerae ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 สิงหาคม 2008
ข้อความ: 117
kheerae is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Sir Aum View Post
Find the solution of the initial problem

จงหาผลเฉลยของค่าเริ่มต้น

y"-2y'+y=3(e^x)+sin2x ,y(0)=1,y'(0)=1


Show all your work.


ช่วยหน่อยครับ

ขอบคุณล่วงหน้าครับ
เป็นวิธีของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง
1 หาผลเฉลยคำตอบทั่วไป $y_c (x)$
$$y"-2y'+y=0$$
$$m^2 - 2m + 1 = 0$$
$$(m-1)(m-1) = 0$$
$m_1,m_2,...m_n \in R, m_1=m_2=m_3=...=m_n $
$$y_c (x)= (c_1 x^{n-1} + c_2 x^{n-2} + ... + c_{n})e^{m_1 x}$$
$m_1=m_2=1$
$$\therefore y_c (x)= (c_1 x + c_2)e^{x}$$
2 หาคำตอบเฉพาะของสมการ $y_p (x)$ ซึ่งจะมีสองวิธีในการคำตอบคือวิธีเทียบ สปส. และวิธีแปรพารามิเตอร์ แต่ในที่นี้จะใช้วิธีเทียบ สปส.
เนื่องจาก $y"-2y'+y=q(x)$
ดังนั้น $q(x) = 3e^x+\sin2x$
$q_1 (x) = 3e^x \Rightarrow y_p (x)= Ae^x$ และ $q_2 (x) = \sin2x \Rightarrow y_p (x)= B\sin2x + C\cos2x$
$$y_p (x)= Ae^x + B\sin2x + C\cos2x$$
จะเห็นว่า $A$ จะมีรูปแบบเดียวกับ $c_2$ ดังนั้นจึงต้องคูณด้วย $x$ เข้าไปที่พจน์ของ $A$ จะได้
$$y_p (x)= Axe^x + B\sin2x + C\cos2x$$
แต่ $A$ จะมีรูปแบบเดียวกับ $c_1$ ดังนั้นจึงต้องคูณด้วย $x$ เข้าไปที่พจน์ของ $A$ อีกครั้งจะได้
$$y_p (x)= Ax^2e^x + B\sin2x + C\cos2x$$
$$y'_p (x)= A(x^2 e^x + 2xe^x) + 2B\cos2x - 2C\sin2x$$
$$y''_p (x)= A(x^2 e^x + 4xe^x + 2e^x) - 4B\sin2x - 4C\cos2x$$
แทนค่า $y_p (x), y'_p (x), y''_p (x)$ ลงใน $y'' - 2y' +y = 3e^x+\sin2x$ จะได้
$$(A(x^2 e^x + 4xe^x + 2e^x) - 4B\sin2x - 4C\cos2x) -2(A(x^2 e^x + 2xe^x) + 2B\cos2x - 2C\sin2x) + (Ax^2e^x + B\sin2x + C\cos2x) = 3e^x+\sin2x$$
$$2Ae^x - (3B+2C)\sin2x +(2B-3C)\cos2x = 3e^x+\sin2x$$
$A = \frac{3}{2},B = \frac{3}{13},C = \frac{2}{13}$
$$\therefore y_p (x) = \frac{3}{2}x^2e^x + \frac{3}{13}\sin2x + \frac{2}{13}\cos2x$$
จาก $y(x) = y_c (x) + y_p (x)$ ดังนั้น
$$\therefore y(x) = (c_1 x + c_2)e^{x} + \frac{3}{2}x^2e^x + \frac{3}{13}\sin2x + \frac{2}{13}\cos2x$$
ที่เหลือก็แทนเงื่อนไขเพื่อหา $c_1,c_2$
ช่วยตรวจอีกที ถ้าผิดตรงไหนช่วยบอกด้วยนะครับ
__________________
"ไม่มีอะไรดีไปกว่าการที่ได้ตื่นขึ้นมาอีกวัน" ผมเชื่อในปาฏิหารย์แต่ผมไม่เชื่อว่าปาฏิหารย์จะเกิดขึ้นถ้าผมไม่ทำ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้