ความหมายเชิงเรขาคณิตของ measure คือ การวัดขนาดของเซต ครับ
เป็นความพยายามในการอธิบายคำว่า ความยาว พื้นที่ ปริมาตร,....
ให้มันใช้งานกับเซตใดๆก็ได้ไม่จำกัดอยู่แค่รูปทรงทางเรขาคณิตที่เ้รารู้จัก
ในระดับมัธยมอย่างเช่น ส่วนของเส้นตรง วงกลม วงรี ทรงกลม ปิรามิด ปริซึม เพียงอย่างเดียว
สำหรับเรขาคณิตสมัยใหม่วัตถุที่เราสนใจและจะต้องเอาไปใช้งานมันมีมากกว่านั้นมาก
เราจึงต้องสร้างเครื่องมือชนิดใหม่ซึ่งเป็นความคิดรวบยอดที่ใช้อธิบายสิ่งเหล่านี้ขึ้นมา
outer measure นั้นสร้างขึ้นมาเพื่อรองรับความต้องการที่ผมกล่าวมาข้างบน
บวกกับคุณสมบัติอันพึงประสงค์อีก 3-4 อย่างซึ่งเป็นคุณสมบัติที่้เซตง่ายๆที่เรารู้จักมีอยู่ก่อนแล้ว
(แน่นอนว่าถ้าเราจะสร้างเครื่องมือใหม่ๆขึ้นมาเพื่อใช้อธิบาย
สิ่งที่มันกว้างขึ้นจากของเิดิมที่เรามีอยู่ เครื่องมือนั้นจะต้องมีคุณสมบัติของสิ่งเดิมๆอยู่ด้วย)
แต่มันก็ไม่ได้สอดคล้องคุณสมบัติที่เราอยากได้เสียทั้งหมด เราจึงต้องสร้างนิยามของ
measurable set ขึ้นมา เพื่อให้ทุกอย่างมันเป็นไปตามที่้เราอยากให้เป็น
นิยามของ outer measure อาจจะดูยุ่งยาก
แต่ถ้าเข้าใจความหมายของมันแล้วเราจะเข้าใจว่าทำไมต้องนิยามอย่างนั้น
และมันคือนิยามที่เป็นธรรมชาติที่สุด
อย่างเช่นนิยามของ (Lebesgue) outer measure บนสับเซตของจำนวนจริง
เริ่มจากเรารู้ว่า ความยาวของช่วงก็คือระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้นกับจุดปลายของช่วง
เช่น ความยาวของช่วงปิด $[0,1]$ ก็คือ $1$
ถ้าเราอยากวัดขนาดของเซตอื่นที่ไม่ใช่ช่วงจะทำอย่างไร?
เราก็ลองเอาช่วงหลายๆช่วงมาคลุมเซตนี้ไว้แล้วลองหาค่าประมาณขนาดของเซตนี้
จากผลรวมของความยาวช่วงที่เราเลือกมาคลุม
แต่เราจะเลือกช่วงมาคลุมเซตนี้อย่างไรเพื่อให้ได้ขนาดที่แท้จริงของเซตที่เราสนใจ?
เราก็เลือกทุกแบบที่เป็นไปได้ แล้วคัดเอาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
ซึ่งค่านี้น่าจะมีค่าความคลาดเคลื่อนน้อยที่สุดแล้ว
จึงเป็นที่มาของนิยามที่ว่า
$$m^*(A)=\inf\{\sum_{k}l(I_k)|A\subseteq\bigcup_k I_k\}$$
นั่นเองครับ
ความยากของการศึกษาคณิตศาสตร์ระดับนี้มาจาก
การทำความเข้าใจข้อความทางตรรกศาสตร์แบบข้างบนนี่แหละครับ
อย่าไปหลงอยู่กับสิ่งเหล่านี้ครับ เราต้องหาทางอธิบายสิ่งเหล่านี้
ด้วยภาษาที่เราเข้าใจได้ง่ายอย่างที่ผมอธิบายมาข้างต้น
(แต่ไม่แน่ใจว่า่ง่ายสำหรับคนอื่นด้วยรึเปล่า
)