[nooonuii]

Hint Again :

Note : $m^*(A)\geq 0$ for all $A$

1. $B\subseteq A\cup B\Rightarrow m^*(B)\leq m^*(A\cup B)$

$A-B\subseteq A\Rightarrow m^*(A-B)\leq m^*(A)=0$

$m^*(A-B)=???$

$m^*(A\cup B)=m^*(B\cup (A-B))\leq m^*(B)+m^*(A-B)=???$

2. ให้ $A=\{a_1,a_2,...\}$

$m^*(A)=m^*(\bigcup_{n=1}^{\infty}\{a_n\})\leq \sum_{n=1}^{\infty}m^*(\{a_n\})$

$m^*(\{a_n\})=???$

3. $1=m^*([0,1])\leq m^*(\bigcup I_n)\leq \sum m^*(I_n)$

$m^*(I_n)=???$

4. พิสูจน์ว่า $A\cup B$ measurable ก่อน
(See textbook for the proof : It's quite long and tricky)
ถ้าอ้างอันนี้ได้ก็จบเำพราะจากนิยามของ measurable set
เราจะได้ทันทีว่า $A^c,B^c$ measurable ดังนั้น

$A\cap B = (A^c\cup B^c)^c$

$A-B=A\cap B^c$

เป็น measurable set