อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ love kmitl
ข้อ1.ให้ k>0 และ Aเป็นสับเซตของR กำหนดให้ kA = {x | x/k เป็นสมาชิกของ A ) จงแสดงว่า
1. m*(kA)=km*(A)
2.A measurable ก็ต่อเมื่อ kA measurable
ข้อ2 ให้ Eเป็นสับเซตของM และ M measurable กำหนดให้ m(M) หาค่าได้ จงแสดงว่า M measurable ก็ต่อเมื่อ m(M)=m*(E)+m(M-E)
|
1. ไล่นิยามกับมองว่า ถ้า $A\subseteq \bigcup I_n$ แล้ว $kA\subseteq kI_n$
ดังนั้น $m^*(kA)\leq km^*(A)$
อีกข้างทำคล้ายๆกัน
2. โจทย์น่าจะเป็นอย่างนี้นะครับ
$E$ measurable ก็ต่อเมื่อ $m(M)=m^*(E)+m^*(M-E)$
การพิสูจน์ว่าเซต $E$ measurable ก็คือการพิสูจน์ว่า $$m^*(A)=m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^c)$$ ทุกเซต $A$
แต่เรามีอสมการ $m^*(A)\leq m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^c)$ อยู่แล้ว(ทำไม?)
จึงเพียงพอที่เราจะพิสูจน์ว่า $m^*(A)\geq m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^c)$