[nooonuii]

นี่คือข้อสอบของปีนี้เหรอครับ

7. $a,b,c>0$ $$\dfrac{a^5}{bc^2}+\dfrac{b^5}{ca^2}+\dfrac{c^5}{ab^2}\geq a^2+b^2+c^2$$

Solution 1:

$LHS = \dfrac{a^6}{abc^2}+\dfrac{b^6}{bca^2}+\dfrac{c^6}{cab^2}$

$~~~~~~\geq \dfrac{(a^3+b^3+c^3)^2}{abc(a+b+c)}$ ใช้อสมการ Cauchy

$~~~~~~\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3abc(a+b+c)}$ ใช้อสมการ power mean $(a^3+b^3+c^3)^2\geq \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^3$

$~~~~~~\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}{3abc(a+b+c)}$ ใช้อสมการ $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

$~~~~~~\geq a^2+b^2+c^2$ ใช้อสมการ $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)$

Solution 2:

อสมการสมมูลกับ

$a^7b+b^7c+c^7a\geq a^4b^2c^2+a^2b^4c^2+a^2b^2c^4$

จาก Weighted AM - GM

$a^4b^2c^2=(a^7b)^{23/43}(b^7c)^{9/43}(c^7a)^{11/43}$

$~~~~~~~~\leq \dfrac{23}{43}a^7b+\dfrac{9}{43}b^7c+\dfrac{11}{43}c^7a$

อีกสองอสมการก็ทำแบบเดียวกัน บวกกันทั้งหมดจะได้อสมการที่ต้องการ

Solution 3:

จาก Holder's inequality

$\displaystyle{\sum_{cyc}a^4=\sum_{cyc}\Big(\dfrac{a^5}{bc^2}\Big)^{1/3}\Big(\dfrac{a^5}{bc^2}\Big)^{1/3}\Big(a^2b^2c^4\Big)^{1/3}}$

$~~~~~~~~\displaystyle{\leq \sqrt[3]{\Big(\sum_{cyc}\frac{a^5}{bc^2}\Big)^2(a^2b^2c^2)(a^2+b^2+c^2)}}$

ดังนั้น

$LHS^2\geq \dfrac{(a^4+b^4+c^4)^3}{a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)}$

$~~~~~~~\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^6}{27a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)}$ ใช้อสมการ power mean $a^4+b^4+c^4\geq \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^2$

$~~~~~~~\geq (a^2+b^2+c^2)^2$ ใช้อสมการ AM-GM $(a^2+b^2+c^2)^3\geq 27a^2b^2c^2$