[PP_nine]

วิธีข้างต้นเป็นทริคการฝันครับ คือถ้าลองทำไปมาเราจะเดาคำตอบว่าเป็น $f(x)=x^3+cx$

ซึ่งยังไงวิธีทำก็ผิดอยู่แล้ว แต่เราใช้ประโยชน์จากคำตอบที่เดามาต่อยอดครับ ดังนี้


สร้าง $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ซึ่ง $g(x)=f(x)-x^3$

จากนั้นจัดรูปสมการ มันจะลงตัวพอดีเลยครับ ได้ว่า

$(x-y)g(x+y)-(x+y)g(x-y)=0$

แทน $x=\dfrac{a-b}{2}$ และ $y=\dfrac{a+b}{2}$ ได้ว่า

$bg(a)=ag(b)$

สำหรับ $a,b \not= 0$ ได้ว่า $\dfrac{g(a)}{a}=\dfrac{g(b)}{b}$

ดังนั้น $h(x)=\dfrac{g(x)}{x}$ เป็นฟังก์ชันคงตัว สมมติว่าเป็นค่า $k \in \mathbb{R}$

จัดรูปจนหมดได้ว่า $f(x)=x^3+kx$ สำหรับ $x \not= 0$

แต่จากสมการดั้งเดิม ถ้าเราแทน $x=y=1$ ก็จะพบว่า $f(0)=0=(0)^3+k(0)$ ด้วยเช่นกัน

เราจึงสรุปได้ว่า คำตอบคือ $f(x)=x^3+kx$ ทุก $x \in \mathbb{R}$