[passer-by]

32. ABCD เป็นด้านของสี่เหลี่ยม โดยความยาวด้านเป็นจำนวนนับ และมี มุม A,C เป็นมุมฉาก ,BD =25 หาจำนวนนับที่เป็นไปได้ทั้งหมดของความยาว AC

33. ถ้าในโลกอนาคต , 2 คำใดๆ จะเหมือนกัน ถ้าใช้กลุ่มตัวอักษรเดียวกัน เช่น AABCC=ACBCA=BACCA เป็นต้น หาว่าจะมีคำ 9 ตัวอักษรต่างกันกี่คำ (สมมติว่าไม่มีการประดิษฐ์ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวใหม่เพิ่ม)

34. n เป็นจำนวนนับ >3 , S= {1,2,..,n} $ A\subset S \,\, , A \neq \phi $ นิยาม m(A) แทนมัธยฐานของสมาชิกใน A หาค่า $$ \sum_{A} \,\, m(A) $$ (Hint: symmetry might help)

35. หาผลรวมรากจริงทั้งหมดของสมการ $ \log_{2}(-x^2+7x-10) + 4 \sqrt{\cos (\pi \sqrt{x^2+7})-1} = 1 $

36. ทรงสี่หน้า ABCD ยาวด้านละ 1 หน่วย P,Q เป็นจุดบน AB, CD ตามลำดับ หาระยะสั้นสุดระหว่าง P,Q

37. หาจำนวนจริง x,y,z ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับสมการ $ \sqrt{3^x(4^y+5^z)} + \sqrt{4^y(3^x+5^z)}+ \sqrt{5^z(3^x+4^y)} = \sqrt{2}(3^x+4^y + 5^z) $ (Hint: inequality)

38. หาค่าเฉลี่ยของ $ (a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-d)^2 + \cdots (f-g)^2 $ โดย a,b,c,..,g เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของ 1,2,3,11,12,13,14

39. กำหนดลำดับ 19,199,1999,... พิสูจน์ว่า 19 หารเทอมในลำดับลงตัว เป็นจำนวนอนันต์ ( prove that there're infinitely many numbers in sequence , divisible by 19)

40. a,n เป็นจำนวนนับที่มากกว่า 1 , หา หรม.ทั้งหมดที่เป็นไปได้ของ $ a^n(a+1)^{n+1} +a $ และ $ a^{n+1}(a+1)^n -1$

41. a,b,c > 0 พิสูจน์ $$ \frac{1}{a(b+1)} + \frac{1}{b(c+1)} + \frac{1}{c(a+1)} \geq \frac{3}{1+abc} $$

42.กำหนดจำนวนนับ n ที่ทำให้ 2n+1 และ 3n+1 เป็น perfect square พิสูจน์ว่า 5n+3 เป็นจำนวนประกอบ

43. แก้สมการ $ \log_{2010}(2009x) = \log_{2009}(2010x)$

44. (ข้อนี้หน้าตาคล้ายโจทย์โอลิมปิก แต่จริงๆเป็นโจทย์ ม.ปลายธรรมดา) n เป็นจำนวนนับที่ >3 พิสูจน์ว่า ค่าสัมบูรณ์ของรากทุกรากของสมการ $ x^n+x^{n-1}+2x^{n-2}+3x^{n-3}+\cdots (n-1)x+n = 0 $ น้อยกว่า $ \frac{3+\sqrt{5}}{2} $

45. (ข้อนี้เกิน ม.ปลายครับ) หาค่า $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} (\frac{n}{\frac{1}{2}+ \frac{2}{3}+\cdots \frac{n}{n+1}})^n $$

46. $ a_1 \,\, ,a_2 \,\, , a_3 \,\, , a_4 >0 $ พิสูจน์ว่า $$ \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4} - \sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4} \leq \frac{3}{4} max_{i,j} (\sqrt{a_i} -\sqrt{a_j})^2 $$ และพิสูจน์ด้วยว่า 3/4 เป็นค่าคงที่ที่ดีที่สุดของอสมการแล้ว

---------------------------------------
p.s. ผมจะพยายาม มาเพิ่มให้อย่างสม่ำเสมอ นะครับ