อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ shirouhi-lover
*ข้อB นี่ ถ้าไม่ดิฟตรีโกณเอา จะพอมีวิธีที่สั้นๆง่ายๆกว่านี้มั้ยครับ นึกไม่ออกเลยจิงๆ รบกวนเซียนหลายๆท่านในนี้ให้คำชี้แนะ ^^
$A= max[ cos^4\theta - sin^4\theta] $
$ A = (cos^2\theta + sin^2\theta)(cos^2\theta - sin^2\theta) $
$ A = (1)(cos 2\theta) $
เนื่องจาก $ -1 \leqslant cos 2\theta \leqslant 1 $
ดังนั้น ค่าสูงสุดของ A คือ 1
- - - - -
$ B= max [4 sin + 3 cos] $
พยายามจะใช้วิธีแบบ ม. ปลาย โดยไม่ diff trigon โดยตรง
$ B = 4sin\theta + 3 cos\theta $
แอบวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากขึ้นมาหนึ่งรูป โดยมี $\theta$ อยุ่ที่มุมหนึ่ง ให้ด้านตรงข้ามยาว $a$ หน่วย ให้ด้านประชิดยาว $b$ หน่วย ดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉากจึงยาว $\sqrt{a^2 + b^2} $
(ต้องขออภัยที่ใส่รูปไม่เป็นคับ T-T)
$ B = 4( \frac{a}{ \sqrt{a^2 + b^2} }) + 3( \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} } ) $
$ B = \frac{4a + 3b}{ \sqrt{a^2 + b^2} } $
$ B = \frac{ \frac{1}{b} }{ \frac{1}{b} } \cdot \frac{4a + 3b}{ \sqrt{a^2 + b^2} } $
$ B = \frac{ 4\frac{a}{b} + 3\frac{b}{b}}{ \sqrt{(\frac{a}{b})^2 + (\frac{b}{b})^2} } $
กำหนดให้ $\frac{a}{b} = x$ แทนค่าลงไป จะได้
$ B = \frac{4x+3}{ \sqrt{x^2 + 1} } $
ต้องการหาค่า x ที่ทำให้ได้ค่า B สูงสุดจาก
$ \begin{array}{rcl}
\frac{dB}{dx} & = & 0 \\
\frac{ \sqrt{x^2 + 1}(4) - (4x-3)( \frac{1}{2} )(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}}(2x) }{x^2 + 1} & = & 0 \\
\sqrt{x^2 + 1}(4) - (4x-3)( \frac{1}{2} )(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}}(2x) & = & 0 \\
\sqrt{x^2 + 1}(4) & = & (4x-3)( \frac{1}{2} )(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}}(2x) = 0 \\
4 \sqrt{x^2 + 1} & = & \frac{x(4x + 3)}{\sqrt{x^2 + 1}} \\
4(x^2 + 1) & = & 4x^2 + 3x \\
4x^2 + 4 & = & 4x^2 + 3x \\
4 & = & 3x \\
\frac{4}{3} & = & \frac{a}{b}
\end{array}$
เปลี่ยน $x$ กลับมาในรูปของ $a,b$ เหมือนเดิม
ดังนั้น ค่า สูงสุดของ $B$ จะเกิดขึ้นเมื่อ $sin \theta = \frac{a}{ \sqrt{a^2 + b^2} } = \frac{4}{ \sqrt{4^2 + 3^2} } = \frac{4}{5}$
และ $ cos\theta = \frac{b}{ \sqrt{a^2 + b^2} } = \frac{3}{ \sqrt{4^2 + 3^2} } = \frac{3}{5}$
ดังนั้น $B = max[4sin\theta + 3cos\theta]$
$B = 4(\frac{4}{5}) + 3(\frac{3}{5}) $
$B = \frac{16+9}{5} $
$B = \frac{25}{5} = 5$
ดังนั้น $A+B = 1 + 5 = 6$
|
หนึ่งในพิสูจน์ค่าสูงสุดของ $asin(\theta)\pm bcos(\theta)$
$=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}(asin(\theta)\pm bcos(\theta))$
$=\sqrt{a^2+b^2}[\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sin(\theta) \pm \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cos(\theta)]$
สร้างสามเหลี่ยมที่มีด้านประกอบมุมฉากชิดยาว a และข้ามยาว b ขึ้นมาจะได้ว่า ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $\sqrt{a^2+b^2}$ (สามเหลี่ยมที่สร้างเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ไม่ทราบค่ามุม)
$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} = cos x$
$\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} = sin x$
$=\sqrt{a^2+b^2}[cos(x)sin(\theta) \pm sin(x)cos(\theta)$
$=\sqrt{a^2+b^2}[sin(\theta \pm x) ]$
จากขอบเขตของค่า sin ก็จะหาค่า min,max ได้แล้วครับ
