[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

มาช่วยกัน Post สพฐ รอบ 2 ม.ต้น
4.. $2^4+2^7+2^n$ จงหาจำนวน n ที่ทำให้จำนวนนี้เป็นกำลัง 2 สมบูรณ์ n คือ?

ข้อนี้ผมคิดได้8เหมือนกันแต่ใช้วิธีที่ถึกกว่าคนอื่น
ผมสมมุติว่า$2^4+2^7+2^n =144+2^n =(12+a)^2$ เมื่อ$a$เป็นจำนวนเต็ม
$(12+a)^2 = 12^2+24a+a^2 =144+2^n$ จะได้ว่า$24a+a^2 =2^n$
$a(24+a)=2^n$...เรารู้ว่า$2^n$เป็นจำนวนคู่ ซึ่งเกิดจากผลคูณของเลขคี่กับเลขคู่ หรือเลขคู่กับเลขคู่
จะได้ว่า$a$ต้องเป็นจำนวนคู่เท่านั้นจึงทำให้เกิดกรณีนี้ เขียน$a$ใหม่ว่า $a=2b$แทนลงไปอีก
$b(12+b) = 2^{n-2}$อีกเช่นกันด้วยหลักคิดข้างต้น$b$ย่อมเป็นจำนวนคู่ก็เขียน$b$ใหม่ว่า $b=2c$แทนลงไปได้
$c(6+c)=2^{n-4}$อีกเช่นกันด้วยหลักคิดข้างต้น$c$ย่อมเป็นจำนวนคู่ก็เขียน$c$ใหม่ว่า $c=2d$แทนลงไปได้
$d(3+d)=2^{n-6}$ในกรณีนี้$d$จะเป็นจำนวนคี่หรือจำนวนคู่ก็ได้......ความมั่วเริ่มจากตรงนี้..555555
ถ้า$d$เป็นเลขคู่ ก็เขียนแทนด้วย$d=2e$ จะได้ว่า$2e(2e+3)=2^{n-6}$....$e(2e+3)=2^{n-7}$ในกรณีนี้$e$จะเป็นเลขคู่เท่านั้นแทนด้วย$e=2f$
$2f(4f+3)=2^{n-7}$......$f(4f+3)=2^{n-8}$....$f$เป็นจำนวนคู่เท่านั้น แทน$f=2g$...$g(8g+3)=2^{n-9}$....ด้านนี้มันไปเรื่อยๆไม่ได้ค่า$n$แน่ๆ.....แสดงว่าที่สมมุตินั้นเป็นไปไม่ได้
ถ้า$d$เป็นจำนวนคี่ แทนด้วย$d=2m+1$ จะได้ว่า$(2m+1)(2m+4)=2^{n-6}$
......$(2m+1)(m+2)=2^{n-7}$ $m$ถูกล็อกให้เป็นเลขคู่
แทน$m=2n$จะได้ว่า$(4n+1)(n+1)=2^{n-8}$ $n$เป็นเลขคู่เท่านั้น แทน$n=2p$
$(8p+1)(2p+1)=2^{n-8}$...จะเห็นว่าพจน์$(4p+1)$และ$(2p+1)$เป็นจำนวนคี่ ซึ่งผลคูณเป็นเลขคี่อย่างเดียว กรณีเดียวที่เป็นได้คือ $p=0$ ทำให้ได้$1=2^0=2^{n-8}$
ดังนั้น$n-8=0$....$n$เท่ากับ$8$
ไม่รู้ว่าผมนั่งคิดได้ยังไง...ถึกชะมัดหยาดเลยครับ วิธีของคุณอาbankerกับน้องอีกคนสั้นกว่าเยอะ...คงต้องเรียนรู้และรื้อฟื้นเทคนิคของคนอื่นในบอร์ดแล้ว