พิสูจน์ไม่ยากหรอกครับ ก็เริ่มต้น สมมติให้
f(x) = g(0) + g(1)x + g(2)x^2 + g(3)x^3 + g(4)x^4 + ...
จะได้ว่า
f'(x) = g(1) + 2g(2)x + 3g(3)x^2 + 4g(4)x^3 + ...
f''(x) = 2g(2) + 6g(3)x + 12g(4)x^2 + ...
f'''(x) = 6g(3) + 24g(4)x + ...
...
เมื่อแทนค่าให้ x = 0 จะได้ว่า
f(0) = g(0)
f'(0) = g(1)
f''(0) = 2g(2)
f'''(0) = 6g(3)
...
f(n)(0) = n!g(n)
หมายเหตุ : f(n)(0) หมายถึง อนุพันธ์อันดับที่ n ของ f(x) เมื่อ x = 0
จากการแทนค่าเสร็จแล้ว สามารถย้ายข้างหา g(n) ได้ ดังนี้
g(0) = f(0)
g(1) = f'(0)
g(2) = f''(0) / 2
g(3) = f'''(0) / 6
...
g(n) = f(n)(0) / (n!)
นำค่า g(n) ที่ได้มาแทนในสมการ f(x) อันแรกเลย จะได้
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)(x^2)/(2!) + f'''(0)(x^3)/(3!) + ...
ถ้าจะเอามาทำเป็น Taylor's Series ก็ให้ h(x) = f(x + a) แล้วคิดแบบนี้แหละ
|