อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker
ฝึกสมองเล่นๆ ในวันเหงาๆ
จงเรียงลำดับค่าของ $(9!)^7, (8!)^8 \ $ และ $ \ (7!)^9 \ $ จากมากไปหาน้อย
$1 \ \ (9!)^7, (8!)^8, (7!)^9$
$2 \ \ (9!)^7, (7!)^9, (8!)^8$
$3 \ \ (8!)^8, (9!)^7, (7!)^9$
$4 \ \ (8!)^8, (7!)^9, (9!)^7$
ref : http://www.kukkai.org/problems/view/1374
ตอบ ข้อ 1 |
จะพิสูจน์ว่า $(n-1)!^{n+1} < (n!)^n < (n+1)!^{n-1}$ เมื่อ $n=8$
การแสดงว่า $(n-1)!^{n+1} < (n!)^n$ สมมูลกับข้อความ การแสดงว่า $(n-1)! < n^n$
ซึ่งสามารถอุปนัยได้ไม่ยาก
เราจะแสดงว่า $(n-1)! < n^n$ เมื่อ $n \geqslant 2$
$P(2)$ เป็นจริง เพราะ $ 0! = 1 < 2^2 $
สมมุติว่า $P(n)$ เป็นจริงนั่นคือ$ (n-1)! < n^n$ เมื่อ $n \geqslant 2$
ต้องการแสดงว่า $P(n+1)$ เป็นจริง
จาก $(n-1)! < n^n $
$n! < n^n * n$
$n! < n^{n+1} < (n+1)^{n+1}$
ทีนี้เราจะแสดงว่า $ (n!)^n < (n+1)!^{n-1}$ ซึ่งสมมูลกับข้อความ การแสดงว่า $(n+1)! < (n+1)^n$
ซึ่งก็อุปนัยได้ไม่ยากเช่นกัน
เราจะแสดงว่า $(n+1)! < (n+1)^n$ เมื่อ $n \geqslant 2$
$P(2)$ เป็นจริง เพราะ $ 3! = 6 < 3^2 $
สมมุติว่า $P(n)$ เป็นจริงนั่นคือ$ (n+1)! < (n+1)^n$ เมื่อ $n \geqslant 2$
ต้องการแสดงว่า $P(n+1)$ เป็นจริง
จาก $(n+1)! < (n+1)^n $
$(n+1)!(n+2) < (n+1)^n*(n+2)$
$(n+2)! < (n+1)^n*(n+2) < (n+2)^n(n+2) < (n+2)^{n+1}$
ซึ่งเราสามารถนำไปขยายจากบทพิสูจน์นี้ได้อีกว่า เมื่อ $n \geqslant 2$
$$(n-1)!^{n+1} < (n!)^n < (n+1)!^{n-1}$$