สอบวันที่ 18 มีนาคม 2563
ช่วงเช้า 8.30-12.00น.
$1. \ ให้\ A,\ B\ เป็นเซตของจำนวนจริง\ โดยที่\ |A|=11 \ และ\ B=\left\{\,uv \ | \ u,v \in A \ และ \ u\not= v\right\}$
$จงแสดงว่า\ ค่าน้อยสุดของ\ |B|\ เป็น \ 17$
$2. \ ให้\ ABC \ เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ \ AB=AC \ และมี\ I \ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน\ วาดวงกลม\ 3\ วง\ ดังนี้$
$\Gamma _1 \ เป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ \ A \ และมี \ AB \ เป็นรัศมี$
$\Gamma _2 \ เป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ \ I \ และมี \ IB \ เป็นรัศมี$
$\Gamma _3 \ เป็นวงกลมที่ผ่านจุด \ I\ และ\ B \ โดยที่\ \Gamma _3 \ ตัดกับ\ \Gamma _1 \ และ\ \Gamma _2 \ ที่จุด \ P\ และ\ Q\ ตามลำดับ$
$ให้ \ R \ เป็นจุดตัดของ \ BQ \ กับ \ IP \ $
$จงพิสูจน์ว่า \ CR \ ตั้งฉากกับ\ BR$
$3.\ ให้\ f(x)\ เป็นพหุนาม\ ในแต่ละครั้งของการดำเนินการสามารถเลือกได้อย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้$
$\quad (i)\ \ x^2\cdot f(\frac{1}{x} +1)\ $
$\quad (ii)\ (x-1)^2\cdot f(\frac{1}{x-1})\ $
$จงพิจารณาว่า\ เป็นไปได้หรือไม่ที่จะดำเนินการกับพหุนาม\ x^2+4x+3\ เป็นจำนวนจำกัดครั้ง\ แล้วได้ผลลัพธ์เป็น\ x^2+10x+9$
$4.\ ให้\ a\ เป็นจำนวนนับ\ โดยที่\ a>1\ และ$
$S=\left\{\,a^2+a-1,a^3+a^2-1,a^4+a^3-1,...\right\}$
$จงแสดงว่า\ มีสับเซตอนันต์\ T\subset S\ ซึ่งแต่ละสมาชิกของ\ T\ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน$
ช่วงบ่าย 13.00-16.00น.
$5.\ จงหาจำนวนเต็มบวก\ k\leqslant 105\ ทั้งหมดที่ทำให้\ \frac{1!2!3!...100!}{k!}\ เป็นกำลังสองสมบูรณ์$
$6.\ ให้\ x,y,z\ เป็นจำนวนจริงบวก\ โดยที่\ x,y,z\in\left[\frac{1}{2},2\right] $
$\quad 6.1\ จงพิสูจน์ว่า\ 4xy+4\leqslant 5x+5y$
$\quad \!6.2\ จงหาค่าต่ำสุดของ\ \frac{60x^2-1}{4xy+5z} +\frac{60y^2-1}{4yz+5x}+\frac{60z^2-1}{4zx+5y}$
$7.\ ให้\ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ เป็นฟังก์ชัน\ จงพิจารณาว่ามีฟังก์ชัน\ f\ ที่สอดคล้องกับ$
$3f(-n^2+3n+1)-2f(n)^2=5$
$สำหรับทุกๆ\ จำนวนเต็ม\ n\ หรือไม่\ เพราะเหตุใด\ ถ้ามี\ จงยกตัวอย่างฟังก์ชัน\ f\ ดังกล่าว$
$8.\ กำหนด\ ABCDEF\ เป็นรูปหกเหลี่ยมนูนแนบในวงกลม\ โดยที่\ ACE\ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม$
$ให้\ M,N,P,Q,R,S\ เป็นจุดกึ่งกลางของ\ AC,BD,CE,DF,EA,FB\ ตามลำดับ$
$ให้\ U,V\ เป็นจุดตัดของ\ AC\ กับ\ BD,BF\ ตามลำดับ$
$ให้\ W,X\ เป็นจุดตัดของ\ CE\ กับ\ DF,DB\ ตามลำดับ$
$ให้\ Y,Z\ เป็นจุดตัดของ\ EA\ กับ\ FD,FB\ ตามลำดับ$
$\quad 8.1\ จงแสดงว่า\ UX,VY,WZ\ ตัดกันที่จุดเดียว$
$\quad 8.2\ ถ้า\ M,N,P,Q,R,S\ มีวงกลมล้อมรอบ\ แล้วจงแสดงว่า\ EM,FN,AP,BQ,CR,DS\ ตัดกันที่จุดเดียว$