ข้อ 82 ลองให้ $x=\tan A , y=\tan B , z=tan C$ โดยที่ $0 \leqslant A,B,C \leqslant \frac{\pi}{2}$
จะได้ว่า $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \leftrightarrow A+B+C = \pi$
และจะได้ว่าโจทย์ก็คือ หาค่าสูงสุดของ $\cos A + \cos B + \cos C$ โดยมีเงื่อนไขตามข้างต้น
จาก $\frac{d^2}{dx^2}\cos x \leqslant 0$ เมื่อ $0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}$
$\therefore \cos x$ เป็น concave function เมื่อ $x$ อยู่ในช่วง $[0,\frac{\pi}{2}]$
$\therefore \cos A +\cos B+\cos C \leqslant 3\cos (\frac{A+B+C}{3})=\frac{3}{2}$ จาก Jensen's Inequality
ดังนั้น ค่าสูงสุดของ $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}$ เมื่อ $x+y+z=xyz$ คือ $\frac{3}{2}$
ค่าสูงสุดเกิดเมื่อ $x=y=z=\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$
Q.E.D. 