[B บ ....]

สมมติให้ $(a_n)_n$ เป็นลำดับของจำนวนจริงบวก ซึ่ง $$\sum_{n=1}^\infty a_n = \infty, \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$$ แล้วสำหรับทุกจำนวนจริงบวก $a$ ใดๆ จะมีลำดับย่อย $(a_{n_k})$ ซึ่ง $$\sum_{k=1}^\infty a_{n_k} = a.$$

ผมรู้สึกเข้าใจตัวทฤษฎีบทนะครับ เหมือนว่าตัว $a_n$ มันเล็กมาก แต่ถ้าจับรวมกันมันก็ใหญ่มากๆด้วย แนวคิดการพิสูจน์น่าจะแบบว่า พยายาม sum $a_n$ ให้ใกล้ $a$ มากที่สุด แล้วใช้เทอมเล็กของ $a_n$ ตอนปลายๆ เข้าไปบวกเพิ่มจนผลรวมลู่เข้าหา a

ที่คิดไว้คือ จะพยายามหา finite sum ของ $a_n$ ให้ใกล้ๆ $a$ แล้วจะหาเทอมปลายของ $a_n$ ซึ่งน้อยกว่าพวก $\frac{1}{2^n}$ เพื่อให้ผลรวมเล็ก และบวกกันใกล้ $a$ พอดี

แต่เขียนพิสูจน์ไม่ได้ครับ ดูแล้วเดาว่าคล้าย Riemann rearrangement for condotional serie แต่ก็ไม่เหมือน ลองพยายามคิดแล้วแต่มันไม่ออกครับ

รบกวนช่วยด้วยครับ

ขอบคุณครับ