ให้$\,m^2=x\, $ซึ่ง x ก็เป็นจำนวนคี่
จะได้$\,m^{n!}-1\, =(x^{\frac{n!}{2}}-1)=(x-1)(x^{\frac {n!}{2}-1}+x^{\frac{n!}{2}-2}+...+x^2+x+1) $
แสดงว่า$\,2^k\mid (x^{\frac {n!}{2}-1}+x^{\frac{n!}{2}-2}+...+x^2+x+1) $
จะเห็นว่าฝั่งขวามี$\,\frac {n!}{2}\, $เทอม ซึ่งเป็นจำนวนคู่
แต่ละเทอมเป็นจำนวนคี่ ซึ่งหาร2เหลือเศษ1 เศษรวมเป็น$\,\frac {n!}{2}\,$
ดังนั้น$\,2^k\mid (P+\frac {n!}{2})=\frac {n!}{2}(Q+1)\,$โดย P, Qเป็นจำนวนคู่
แสดงว่า$\,2^k\mid \frac {n!}{2}\, $
หาจำนวนตัวประกอบ 2 ของ $\,n!\,$ด้วยทบ.ของเลอจองด์ได้$\,=\left\lfloor\,\frac {n}{2}\right\rfloor +\left\lfloor\,\frac{n}{2^2}\right\rfloor +...+\left\lfloor\,\frac {n}{2^\sqrt{n}} \right\rfloor \,$
$$\therefore \,\quad \,k=\sum_{i = 1}^{\sqrt{n} } \left\lfloor\,\frac {n}{2^i}\right\rfloor-1 $$
|