อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TU Gifted Math#10
25. จงหาค่าของ $\left(\dfrac{1+\sin\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)+i\cos\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)}{1+\sin\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)-i\cos\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)}\right)^{2555}$ โดยที่ $i$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง $i^2=-1$
|
ให้ $z=\cos\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)$
จะได้ $\overline{z}=\dfrac{1}{z}$ และ $z^{2555}=-1$
$\left(\dfrac{1+\sin\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)+i\cos\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)}{1+\sin\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)-i\cos\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)}\right)^{2555}=\left(\dfrac{1+i\overline{z}}{1-iz}\right)^{2555}$
$~\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\left(\dfrac{i}{z}\right)^{2555}$
$~\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=i$