Algebra ข้อ 1 ผมเห็นแต่วิธีถึกๆ ทั้งนั้น ก็เลยมาเสนอวิธีง่ายๆ ให้
แทน $a=\dfrac{y-z}{x},\ b=\dfrac{z-x}{y},\ c=\dfrac{x-y}{z}$
ให้ $P(x, y, z)=xyz(\dfrac{y-z}{x}+\dfrac{z-x}{y}+\dfrac{x-y}{z})=xy(x-y)+yz(y-z)+zx(z-x)$
สังเกตว่า ถ้า $x=y$ แล้ว $P(x, y, z)=0$ นั่นคือ P(x, y, z) มี $x-y$ เป็นตัวประกอบ และโดยความสมมาตร จะได้ว่า $y-z$ และ $z-x$ ต้องเป็นตัวประกอบด้วย
ดังนั้น $P(x, y, z)=K(x-y)(y-z)(z-x)$ และจากการแทนค่าจะได้ว่า $K=-1$
ดังนั้น เราจะเห็นว่า $a+b+c=-abc$
ทำให้ $\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a+b+c}{abc}=-1$
เพราะฉะนั้น $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=2557^2+2$
|