[Thgx0312555]

Practice Test ที่เอาให้น้องศูนย์ มข. ทำครับ
ถ้าใครรู้แหล่งที่มาอย่าพึ่งเอาลงนะครับ
เฉลยได้

1. ให้ $S$ เป็นเซตของจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน $9$ จำนวน ซึ่งทุกจำนวนมีจำนวนเฉพาะที่หารลงตัวได้เพียง $2$ และ $3$ จงพิสูจน์ว่าจะสามารถเลือกจำนวนเต็มที่แตกต่างกันสามจำนวนจาก $S$ ซึ่งทำให้ผลคูณของทั้งสามจำนวนเป็นกำลังสามสมบูรณ์

2. จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดซึ่งทำให้ $\dfrac{n^2+1}{[\sqrt{n}]^2+2}$ เป็นจำนวนเต็ม
กำหนดให้ $[r]$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ไม่เกิน $r$

3. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมซึ่ง $\angle BAC \neq 90^{\circ}$ ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ และ $\Gamma$ เป็นวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $BOC$ ถ้า $\Gamma$ ตัดส่วนของเส้นตรง $AB$ อีกครั้ง(ที่ไม่ใช่ $B$ ) ที่ $P$ และตัดกับส่วนของเส้นตรง $AC$ อีกครั้ง(ที่ไม่ใช่ $C$ ) ที่ $Q$ ถ้า $ON$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของ $\Gamma$ จงพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม $APNQ$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

4. ในงานเลี้ยงปีใหม่มีผู้เข้าร่วม $n+1$ คน (หมายเลขตั้งแต่ $1,2,3,...,n+1$ ) กำลังแลกของขวัญ ถ้าไม่มีใครให้ของขวัญคนเดียวกัน และคนหมายเลข $i$ ให้ของขวัญกับคนหมายเลข $x_i$ และเราทราบว่าคนที่หมายเลข $n+1$ ให้ของขวัญกับคนที่หมายเลข $1$, หลังจากแลกของขวัญเสร็จคนที่ $i$ จะได้แต้มเท่ากับ $x_i-i$ จงพิสูจน์ว่าสำหรับ $r \in \mathbb{Z}$, $1 \le r \le n$ จะสามารถเลือกคน $r$ คนซึ่งมีแต้มรวมอย่างน้อย $r$

5. นิยามลำดับ $(a_n),n \in \mathbb{N}$ ดังนี้
$ \quad a_1=1,a_2=2,a_3=3$ และ $a_n=\dfrac{a_{n-1}a_{n-2}+7}{a_{n-3}}$ . สำหรับ $n \ge 4$
จงพิสูจน์ว่าทุกพจน์ของลำดับนี้เป็นจำนวนเต็ม

Sources: 1,2,3 APMO ประมาณปี 2007-2011 ข้อ 1-2, 4 แต่งเอง, 5 unknown