[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

2. จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดซึ่งทำให้ $\dfrac{n^2+1}{[\sqrt{n}]^2+2}$ เป็นจำนวนเต็ม
กำหนดให้ $[r]$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ไม่เกิน $r$

sol

สมมติมี $n$ ที่สอดคล้อง

ให้ $n=a^2+i$ โดยที่ $a \in \mathbb{N} $ และ $0\leqslant i\leqslant 2a$

ได้ว่า $a^2\leqslant n<(a+1)^2$ นั่นคือ $[\sqrt{n} ]=a$

$a^2+2\mid (a^2+i)^2+1 = (a^4+2a^2)+((2i-2)a^2+2(2i-2))+(i^2-4i+5)$

ทำให้ $a^2+2\mid (i-2)^2+1$

เนื่องจาก $0\leqslant i\leqslant 2a$ จะได้ว่า $(i-2)^2+1$ ที่เป็นไปได้คือ $a^2+2,2a^2+4,3a^2+6$

กรณี1 $ (i-2)^2+1 = a^2+2$ จะได้ $(i+a-2)(i-a-2) = 1$ ซึ่งจะได้ว่าไม่มี $a,i$ ที่สอดคล้อง

กรณี2 $(i-2)^2+1 = 2a^2+4$ เช็ค mod 8 จะได้ว่าไม่มี $a,i$ ที่สอดคล้อง

กรณี3 $(i-2)^2+1 = 3a^2+6$ เช็ค mod 3 จะได้ว่าไม่มี $a,i$ ที่สอดคล้อง

ดังนั้นไม่มี $n$ ที่สอดคล้อง

ข้อไม่ยากของคุณ Thgx0312555 ผมทำเป็นชั่วโมง 5555