141. $ S_1,S_2,?,S_k \subset\{ 1,2,?,4n\} $ โดยแต่ละ subset มีสมาชิก 2n ตัว และ $ S_i \cap S_j$ มีสมาชิกอย่างมาก n ตัว (ทุก i ที่ต่างจาก j ) พิสูจน์ว่า $ k \leq 6^{\frac{n+1}{2}}$
142. สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม เส้นตรง S สัมผัส (ABC) ที่ B โดยมี K เป็นจุดปลายเส้นตั้งฉากจาก H ไป S ถ้าให้ L เป็นจุดกึ่งกลาง AC พิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม BKL เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
143. สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม มี AK เป็นส่วนสูง ถ้า KOH เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลมและ P เป็น circumcenter ของ (KOH) , Q เป็นจุดสมมาตรของ P เทียบกับ OH พิสูจน์ว่า Q อยู่บนเส้นที่เชื่อมจุดกึ่งกลางด้าน AB,AC
144. หาผลรวมรากจินตภาพของสมการ $ x^{10}-10x+9 =0 $
145. $ A=\{2^n-3 | n \in N\}$ พิสูจน์ว่ามี subset ของ A ที่เป็นเซตอนันต์ที่สมาชิก 2 ตัวใดๆเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
146. $ A=\{ k^{k-1} | k \in N \,\, , 1 \leq k \leq p \} $ หาจำนวนเฉพาะ p ทั้งหมดที่ทำให้ A เป็นระบบส่วนตกค้างบริบูรณ์ modulo p ( complete residue system modulo p)
147. $ A_k =\{ i^k | i \in N \,\, , 1 \leq i \leq p \} $ โดย k เป็นจำนวนนับ >1 และ p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ โดย (k,p-1) =1 พิสูจน์ว่า A เป็นระบบส่วนตกค้างบริบูรณ์ modulo p ( complete residue system modulo p) (Note: lemma ข้อนี้ เอาไปประยุกต์ใช้ในโจทย์อื่นๆได้)
148. รูปหลายเหลี่ยมนูน (convex polygon) มี 1415 ด้านและมีเส้นรอบรูป 2001 หน่วย พิสูจน์ว่ามีสามเหลี่ยมที่มีจุดมุมของรูปหลายเหลี่ยมเป็นจุดยอด และมีพื้นที่ น้อยกว่า 1 ตารางหน่วย
149. กำหนดจำนวนเฉพาะ p พิสูจน์ว่า มีจำนวนนับ n ซึ่ง $ p^n $ มี 0 ติดกัน 2553 ตัว
150. วงกลม I แนบในสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC สัมผัส AB, BC,CA ที่ F,D,E ตามลำดับ ลากส่วนสูง AK และให้ P เป็นจุดบน AK ที่ทำให้ AP เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม Mที่สัมผัสภายนอกวงกลม I และตัด AB,AC ที่ X,Y ตามลำดับ ถ้า AE =15 , XY = 8 และรัศมีวงกลม M เท่ากับ 5 หาขนาด BC
151. ข้อสอบ 4 ข้อ แต่ละข้อมี 3 ตัวเลือก สำหรับผู้เข้าสอบ 3 คนใดๆ จะต้องมีโจทย์อย่างน้อย 1 ข้อที่ผู้เข้าสอบทั้งสาม ตอบครบ 3 ตัวเลือก หาจำนวนมากสุดของผู้เข้าสอบ
152. สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลมที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมหน้าจั่ว เส้นแบ่งครึ่งมุม BAC ตัด (ABC) ที่ D , E,F เป็นจุดสมมาตรของ D เทียบกับ BC และ O ตามลำดับ ,AE ตัด FH ที่ L และ M เป็นจุดกึ่งกลางของ BC พิสูจน์ LM ตั้งฉากกับ AF
153. หาจำนวนนับ x,y,z ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $ (x+y)(1+xy) = 2^z $
154. พิสูจน์ว่ามีพหุนามดีกรี $d$ ซึ่ง เมื่อ composite กัน $n$ ครั้ง (สำหรับจำนวนนับ n ใดๆ) จะมีรากเป็นจำนวนจริงต่างกัน $d^n$ ราก
155. หาจำนวนนับ x,y ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $(x+y)^x = x^y$
156. S(n) แทนผลบวกแต่ละหลักของ $2^n$ หาจำนวนนับ n ทั้งหมดที่ทำให้ $ S(n+1) -S(n) =1$
157. กำหนด $a_0=1 , b_0=0=c_0$ และ $ a_n = a_{n-1}+ \frac{c_{n-1}}{n} \,\, , b_n = b_{n-1}+ \frac{a_{n-1}}{n} \,\, , c_n =c_{n-1}+ \frac{b_{n-1}}{n} $
นิยาม $ d_n = (a_n-b_n)^2 +(b_n-c_n)^2 +(c_n-a_n)^2 $ พิสูจน์ว่า $ d_n < \frac{6}{n} \,\, ,\forall n \geq 1$
158. AB เป็นคอร์ดของวงกลมที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง คอร์ด $A_1B_1$ ตัดคอร์ด $A_2B_2$ ที่จุดกึ่งกลาง P บน AB ถ้าเส้นสัมผัสวงกลมที่ $A_1,B_1$ ตัดกันที่ $C_1$ และเนสัมผัสวงกลมที่ $A_2,B_2$ ตัดกันที่ $C_2$ , C เป็นจุดตัดของ $ AC_1$ และ $BC_2$ พิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ก็ต่อเมื่อ สามเหลี่ยม $CC_1C_2$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
159. กำหนด $ A= \{ 1,2,..,7\} $ และทุกสับเซตที่มีสมาชิก 3 ตัวจะถูกระบายสี โดยมีกฎอยู่ว่า 2 subsets ที่ไม่มีสมาชิกร่วมกัน จะระบายสีต่างกัน หาว่าต้องใช้สีน้อยสุดกี่สีในการระบาย
160. ให้ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง ที่หาอนุพันธ์อันดับ 1 ได้บน $ (a,\infty) $ สำหรับบางจำนวนจริง a และ $\lim_{x \to \infty} f(x) $ หาค่าได้และไม่เป็น $ \pm \infty$ ,จำเป็นหรือไม่ที่ $\lim_{x\to \infty} f?(x) $ หาค่าได้ และถ้าหาค่าได้ จำเป็นต้องเป็น 0 หรือไม่
161. P เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง และ $ P(\sin^2 x) = P(\cos^2 x - 2) \,\, , \forall x \in R$ พิสูจน์ว่ามีพหุนาม Q โดยทุกจำนวนจริง x , $ P(x) = Q(x^2+x) $
162. กำหนด n เป็นจำนวนนับที่มากกว่า 12 และจุด $ P_1,P_2,..,P_n , Q$ พิสูจน์ว่ามีจุด $P_i$ และระยะ $P_iP_j$ (โดย j ต่างจาก i) อย่างน้อย $\frac{n}{6}-1$ ระยะ ที่น้อยกว่า $QP_i$
163. พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ n ที่ทำให้ $ | \sin n| < (\frac{1}{2})^{20} $
164. หาจำนวนฟังก์ชัน f จาก {1,2,3,4,5} ไปยัง {1,2,3,4,5} โดย $ f(f(x)) =x \,\, , \forall x =1,2,3,4,5$
165. สามเหลี่ยม ABC มี M, N เป็นจุดกึ่งกลาง AC,AB ตามลำดับ D,E เป็นจุดบน AC,AB โดย D อยู่ระหว่าง M,C และ E อยู่ระหว่าง A,N (AMN) ตัด (ADE) ที่ P $( \neq A)$ ต่อ AP พบ BC ที่ Q พิสูจน์ว่า $ \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{MD}{NE}$ ไม่ขึ้นกับตำแหน่ง D,E
166. a,b,c >0 พิสูจน์ $$ \sum_{cyc} \,\,\sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{b^2+c^2}} \geq \,\,\frac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}$$
167. (A) กำหนด m เป็นจำนวนนับที่มากกว่า 1 พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ r โดย (r,m)=1 และ $ i_1 < i_2 <?$ ซึ่ง $2^{i_k}-1 \equiv r \pmod{m}$
(B) ให้ $v_2(n)$ แทนเลขชี้กำลังของ 2 ในการกระจาย n! พิสูจน์ว่า สำหรับจำนวนนับ a,m ใดๆ จะมี n >1 ซึ่ง $ v_2(n) \equiv a \pmod{m}$
168. จำนวนนับ m >1 โดย $ n| a^m-1 $ ทุก a ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n พิสูจน์ว่า $ n \leq 4m(2^m-1)$
169. สามเหลี่ยม ABC พิสูจน์ $$ (h_a+h_b+h_c) ? 9r \geq \,\, 2s\cdot \sqrt{ \frac{2r}{R}} - 6r \sqrt{3} $$ เมื่อ s = (a+b+c)/2
170. วงกลม 2 วงตัดกันที่ D,P AB เป็นเส้นสัมผัสร่วมที่ใกล้ D ,ลาก AD พบวงกลมอีกวงที่ C และให้ M เป็นจุดกึ่งกลาง BC พิสูจน์ว่า $D\hat{P}M = B\hat{D}C $
------------------------------------------------------------------
ที่เหลือ เอาไว้ กลาง มิถุนายน จะมา ทยอย post นะครับ (ตอนนี้ ความขี้เกียจเริ่มครอบงำ
) คาดว่าจะมีโจทย์ advance geometry ในสัดส่วนที่มากขึ้น หลังจากนี้ครับ