[กิตติ]

เป็นโจทย์กสพท.ปี2553 ผมเคยเอาข้อสอบมาลง คุณNoooNuiiเฉลยให้แล้วโดยใช้ทฤษฎีเดอมัวร์ ผมยังไม่ได้ลองใช้เอกลักษณ์ทางตรีโกณ
เดี๋ยวว่างๆจะลองทำ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ให้ $z=\cos{x}+i\sin{x}$

โดยทฤษฎีบทของเดอมัวฟ์จะได้

$\sin{nx}=\dfrac{z^n+z^{-n}}{2i}$

ดังนั้น

$ \dfrac{\sin{9x} + 6 \sin{7x} +17 \sin{5x} + 12\sin{3x}}{\sin{8x} + 5 \sin{6x} + 12 \sin{4x}}=\dfrac{(z^9-z^{-9})+6(z^7-z^{-7})+17(z^5-z^{-5})+12(z^3-z^{-3})}{(z^8-z^{-8})+5(z^6-z^{-6})+12(z^4-z^{-4})} $

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{z^{18}+6z^{16}+17z^{14}+12z^{12}-12z^6-17z^4-6z^2-1}{z^{17}+5z^{15}+12z^{13}-12z^5-5z^3-z}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{z^2+1}{z}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=z+z^{-1}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2\cos{x}$