[Biwww]

ข้อที่ 21 จงหาผลบวกของ n ที่เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $8^n+n$ หารด้วย $2^n+n$ ลงตัว

วิธีทำ พิจาราณา $\frac{8^n+n}{2^n+n} =\frac{2^{3n}+n}{2^n+n} $

$=\frac{2^{3n}+n2^{2n}-n2^{2n}+n}{2^n+n} $

$=\frac{2^{2n}(2^n+n)-n(2^{2n}-1)}{2^n+n} $

$= 2^{2n}-\frac{n(2^{2n}-1)}{2^n+n} $

$= 2^{2n}-\frac{n(2^{n}-n)(2^n+n)+n^3-n}{2^n+n} $

$= 2^{2n}-n(2^n-n)+\frac{n^3-n}{2^n+n} $

$= 2^{2n}-n2^n+n^2+\frac{(n-1)n(n+1)}{2^n+n} $

แต่เนื่องจาก n เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $2^{2n}-n2^n+n^2$ เป็นจำนวนเต็มบวก และเนื่องจาก $8^n+n$ หารด้วย $2^n+n$ ทำให้ได้ว่า $(n-1)n(n+1)$ หารด้วย $2^n+n$ ลงตัว

พิจารณา เมื่อ n = 10 , $2^{10}+10 = 1034 > 990 = (9)(10)(11) $


ดังนั้น ตัวหารมากกว่าตัวตั้ง ทำให้ไม่มีโอกาสที่จะหารลงตัว


เราจีงคาดเดาว่า เมื่อ $ n\geqslant 10 $ แล้ว $ 2^n+n > (n-1)n(n+1) $

โดยจะแสดงโดยการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ขั้นฐาน $ n=10 $ , $2^{10}+10 = 1034 > 990 = (9)(10)(11) $

ขั้นอุปนัย ให้ $ n=k $ เป็นจริง นั่นคือ $ 2^k+k > (k-1)k(k+1) $

พิจารณา $ n= k+1 $ , $ 2^{k+1}+k+1 = 2(2^k+k)-k+1 $

$ > 2(k-1)k(k+1)-k+1 $

$ = (k-1)(2k^2+2k-1) $

$ > (k-1)(2k^2+k-1) $

$ = (k-1)(2k-1)(k+1) $

$ = (k+1)(2k^2-3k+1) $

พิจารณา $ k^2-5k+1 = (k-\frac{5}{2})^2-\frac{21}{4} $

แต่ k > 10 ได้ว่า $ (k-\frac{5}{2})^2-\frac{21}{4} > 0 $

ได้ต่อมาว่า $ k^2-5k+1 > 0 $

$ 2k^2-3k+1 > k^2 + 2k $

ดังนั้น $ (k+1)(2k^2-3k+1) > (k+1)(k^2+2k) = k(k+1)(k+2) $ เป็นจริง

จากหลักอุปนัยทางคณิตศาสตร์ได้ว่า
เมื่อ $ n\geqslant 10 $ แล้ว $ 2^n+n > (n-1)n(n+1) $

เพราะฉะนั้น เมื่อ $ n\geqslant 10 $ ,$(n-1)n(n+1)$ หารด้วย $2^n+n$ ไม่ลงตัวแน่นอน (ตัวหารมากว่าตัวตั้ง)

กรณีพิจารณาเหลือเพียง n = 1,2,3,...,9

n=1 $ 2^1+1= 3 $, $ 0(1)(2) = 0 $ ซิ่ง 0 หารด้วย 3 ลงตัว

n=2 $ 2^2+2= 6 $, $ 1(2)(3) = 6 $ ซิ่ง 6 หารด้วย 6 ลงตัว

n=3 $ 2^3+3= 11 $, $ 2(3)(4) = 24 $ ซิ่ง 24 หารด้วย 11 ไม่ลงตัว

n=4 $ 2^4+4= 20 $, $ 3(4)(5) = 60 $ ซิ่ง 60 หารด้วย 20 ลงตัว

n=5 $ 2^5+5= 37 $, $ 4(5)(6) = 120 $ ซิ่ง 120 หารด้วย 37 ไม่ลงตัว

n=6 $ 2^6+6= 70 $, $ 5(6)(7) = 210 $ ซิ่ง 210 หารด้วย 70 ลงตัว

n=7 $ 2^7+7= 135 $, $ 6(7)(8) = 336 $ ซิ่ง 336 หารด้วย 135 ไม่ลงตัว

n=8 $ 2^8+8= 264 $, $ 7(8)(9) = 504 $ ซิ่ง 504 หารด้วย 264 ไม่ลงตัว

n=9 $ 2^9+9= 521 $, $ 8(9)(10) = 720 $ ซิ่ง 720 หารด้วย 521 ไม่ลงตัว

n ที่สอดคล้องคือ 1,2,4,6 ผลรวม = 1+2+4+6 = 13