ข้อ $1$
จากรูปจะเห็นว่าเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุด $B$ ไปยัง $AC$ ตั้งฉากกับ $EF$ และคอร์ดร่วมของวงกลมทั้งสองวงตั้งฉากกับ $EF$ ด้วย เนื่องจากทั้งสองเส้นได้ผ่านจุด $\rm orthocenter$ ซึ่งก็คือจุด $H$ ดังนั้นจุด $B$ อยู่บนคอร์ดร่วมของวงกลมทั้งสองวง โดย power of point จะได้ว่า $BA_1\times BA_2 = BG\times BH = BC_1 \times BC_2$
ดังนั้นจุด $A_1,A_2,C_1,C_2$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน ทำแบบนี้กับจุด $A$ และ $C$ จะได้ว่าทั้ง $6$ จุดอยู่วงกลมเดียวกันทุกจุดครับ
Edit:จุดศูนย์กลางของวงกลมก็คือจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC ครับ
ดังนั้นเราก็แสดงต่อได้ว่าวงกลมทั้งสามวงมีจุดศูนย์กลางเดียวกัน ขออภัยที่ไม่ได้ระบุให้ชัดเจนด้วยนะครับ