[Switchgear]

ข้อ 12. ให้ $A = \{1, 2, 3, ?, 12\}$ จงหาจำนวนสับเซต $S$ ของ $A$ โดยที่ผลบวกของสมาชิกที่น้อยที่สุดของ $S$
กับสมาชิกที่มากที่สุดของ $S$ เท่ากับ $13$

เฉลยวิธีทำ:

สับเซตที่เข้าเกณฑ์ตามที่โจทย์กำหนด จะต้องมีสมาชิกค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด ดังนี้
$\{1, ?, 12\}, \{2, ?, 11\}, \{3, ?, 10\}, \{4, ?, 9\}, \{5, ?, 8\}\;$ และ $\;\{6, ?, 7\}$

แต่ละกรณีข้างต้น มีจำนวนตัวเลขระหว่างกลางอยู่ $\;(max - min - 1)\;$ จำนวน ซึ่งแต่ละจำนวนอาจรวมหรือ
ไม่รวมเข้ามาในสับเซตก็ได้ ดังนั้นแต่ละกรณีจึงมีจำนวนสับเซตได้ $\;2^{(max - min -1)}\;$ สับเซต

จำนวนสับเซต $S$ ทั้งหมด
$= 2^{(12 ? 1 ? 1)} + 2^{(11 ? 2 ? 1)} +2^{(10 ? 3 ? 1)} +2^{(9 ? 4 ? 1)} +2^{(8 ? 5 ? 1)} +2^{(7 ? 6 ? 1)}$
$= 2^{10} + 2^8 +2^6 +2^4 +2^2 +2^0$
$= 1024 + 256 + 64 + 16 + 4 + 1$
$= 1365$ สับเซต