อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Jew
ทำไม$\frac{AO}{OD} = \frac{AF}{FB} + \frac{AE}{EC}$ครับ  |
ก่อนอื่น ขอทำความเข้าใจก่อนว่า เศษส่วนที่เท่ากัน ถ้าเอาเศษบวก(หรือลบ)เศษ ส่วนบวก(หรือลบ)ส่วน อัตราส่วนยังเท่าเดิม เช่น
$\frac{1}{2} = \frac{4}{8} = \frac{20}{40} = \frac{4+20}{8+40} = \frac{20-4}{40 - 8} = \frac{50 +1}{100+2} = \frac{50 -1}{100-2} $
ทีนี้ก็มาถึงเวลาพิสูจน์ว่า $\frac{AO}{OD} = \frac{AF}{FB} + \frac{AE}{EC}$
จากรูป อักษรสีแดงคือพื้นที่สามเหลี่ยมเล็กๆแต่ละอัน
เราจะใช้ความสัมพันธ์ อัตราส่วนด้าน กับอัตราส่วนพื้นที่เป็นหลักในการพิสูจน์
สามเหลี่ยม $ ABD \ \ \ \ \ \ \ \frac{AO}{OD} = \dfrac{a+b}{d} $
สามเหลี่ยม $ ACD \ \ \ \ \ \ \ \frac{AO}{OD} = \dfrac{c+e}{f} $
ดังนั้น $\frac{AO}{OD} = \dfrac{(a+b) + (c+e)}{(d+f)}$ ...................(1)
สามเหลี่ยม $AOB \ \ \ \ \ \ \ \frac{AF}{BF} = \dfrac{a}{b} $ ...................(2)
สามเหลี่ยม $ABC \ \ \ \ \ \ \ \frac{AF}{BF} = \dfrac{a+c+e}{b+d+f} $ ...................(3)
จาก (3) และ (2) $\ \ \ \ \ \ \ \frac{AF}{BF} = \dfrac{(a+c+e)-a}{(b+d+f)- b} = \dfrac{c+e}{d+f}$ ...................(4)
สามเหลี่ยม $AOC \ \ \ \ \ \ \ \frac{AE}{CE} = \dfrac{c}{e} = \dfrac{b+a+c}{d+f+e} $
จะได้ $ \ \ \ \ \ \ \ \frac{AE}{CE} = \dfrac{(b+a+c)-c}{(d+f+e)-e} = \dfrac{b+a}{d+f}$ .....................(5)
(4) + (5) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{AF}{BF} + \frac{AE}{CE} = \dfrac{c+e}{d+f} +\dfrac{b+a}{d+f} = \dfrac{(c+e) + (b+a)}{(d+f)}$
จาก (1) จะได้ $\frac{AO}{OD} = \frac{AF}{BF} + \frac{AE}{CE} $
จากการพิสูจน์ข้างต้น จึงสรุปเป็นสูตรได้ว่า
สามเหลี่ยมใดๆ ABC มี AF : FB = m :n และ AE : EC = p : q แล้ว
$\frac{AO}{OD} = \frac{m}{n} + \frac{p}{q} $
สูตรนี้นำไปใช้ได้เลยครับ
